Puzzle de camaleones de tres colores

Question

Estoy tratando de entender la solución del siguiente rompecabezas

Hay 13 camaleones rojos, 15 verdes y 17 azules en algún momento de tiempo. Cada vez que dos camaleones de los diferentes colores se encuentran ambos cambian su color al tercer color. ¿Es posible que todos los camaleones sean del mismo color?

Soy capaz de averiguar "manualmente paso a paso" que no es posible conseguir todo en un solo color.
Sin embargo no entiendo la solución más formal utilizando el módulo, por ejemplo la solución 1 aquí .

Me doy cuenta de que después de cada cambio la diferencia entre el segundo y el primer término es -3, 0 o 3.

¿Qué representan los vectores (2,2,2)?

No entiendo la afirmación final:

We see that, with the initial vector (1, 0, 2) modulo 3, the only possible combinations of colors on the island are (1, 0, 2), (0, 2, 1), and (2, 1, 0), and these occur cyclically with period 3.

¿Puede alguien explicar de forma sencilla esta solución al problema?

Answer 1

El truco está en demostrarlo:

$$(17,15,13)+a(-1,-1,2)+b(-1,2,-1)+c(2,-1,-1)$$ nunca es $(45,0,0), (0,45,0),$ o $(0,0,45)$ para $a,b,c$ enteros.

Pero como $(2,-1,-1)=(-1)(-1,2,-1)+(-1)(2,-1,-1)$ se puede eliminar el tercer término y pedir que se encuentre $a,b,$ para que sólo tengamos que demostrarlo:

$$(17,15,13)+a(-1,-1,2)+b(-1,2,-1)$$

nunca puede ser $(45,0,0), (0,45,0),$ o $(0,0,45)$ cuando $a,b$ son números enteros.

Si tenemos tal $a,b$ entonces $a+b\equiv 17\pmod {45}, 2b-a\equiv -15\pmod{45}$ y por lo tanto $3b\equiv 2\pmod{45}$ , lo cual es imposible.

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Otra forma de decirlo es:

Si $(x,y,z)+a(-1,-1,2)+b(-1,2,-1)+c(2,-1,-1) = (x',y',z')$ entonces $x-y\equiv x'-y'\pmod{3}$ y $y-z\equiv y'-z'\pmod{3}$ .

Así que si $(x',y',z')=(45,0,0),(0,45,0)$ o $(0.0,45)$ entonces $x-y\equiv 0\pmod 3$ . Pero $17-15\equiv 2\pmod 3$ .

Esto también significa que no puedes llegar a $(15,15,15)$ ya que de nuevo significaría $x-y\equiv 0\pmod 3$ .

Answer 2

Puede ver que

Camaleones rojos mod 3 = 13 mod 3 = 1

Camaleones verdes mod 3 = 15 mod 3 = 0

Camaleones azules mod 3 = 17 mod 3 = 2

Entonces, se toman todos los casos posibles

Si un camaleón rojo se encuentra con un camaleón verde, se convierte en (0 2 1), que es restar 1 módulo 3 a las dos primeras componentes y sumar 2 módulo 3 en la tercera.

Si un camaleón rojo se encuentra con un camaleón azul ...

Si un camaleón verde se encuentra con un camaleón azul...

Ahora suponemos que estamos en el estado (0, 2, 1)

Si un camaleón rojo se encuentra con un camaleón verde...

y así sucesivamente