Cómo probar esta desigualdad $\sum_{k=1}^{n}\frac{|\sin{k}|}{k}>\frac{2}{\pi}\ln{n}$

Question

Pregunta:

mostrar que $$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{|\sin{k}|}{k}>\dfrac{2}{\pi}\ln{n}$$

Sé que esto $$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\sin{k}}{k}=\dfrac{\pi-1}{2}$$

Pero esta desigualdad,no puedo.Gracias

Answer 1

Para un gran $n$ esto es cierto porque como @Winther dijo, $|\sin k|$ es a $2/\pi$, y dado que los números enteros son inconmensurables con $\pi$, que van a ser ergodic en $[0,2\pi)$, por lo que $$[1]\qquad\qquad\qquad \lim_{m \rightarrow \infty}\sum_{k=m}^n\frac{|\sin k|}{k}=\frac{2}{\pi}\sum_{k=m}^n\frac{1}{k}=\frac{2}{\pi}(H_n-H_{m-1})$$where $H_n$ is the $$n º armónico suma.

También se $H_n = \log n + \gamma +\mathcal{O}(\frac{1}{n})$, por lo que tenemos

$$[2]\qquad \sum_{k=1}^n\frac{|\sin k|}{k}=\frac{2}{\pi}H_n+\left(\sum_{k=1}^n\frac{|\sin k|-(2/\pi)}{k}\right)= \frac{2}{\pi}\log n+\frac{2}{\pi}\gamma+\mathcal{E}_n$$ where $\gamma$ is the Euler–Mascheroni constant, and the error terms (from averaging $|\pecado|$ and summing the harmonic sequence) are grouped into $\mathcal{E}_n$. From $[1]$ above, we have shown that the differences in successive error terms go to zero, so the only thing left to check is if they are always greater than $-2 \gamma/\pi$ for every $n$. In fact for every $n$ we have $$ 0 < \mathcal{E}_n $$ Dado que los términos de error son siempre positivas, fácilmente nos tiene: $$\sum_{k=1}^n\frac{|\sin k|}{k}=\frac{2}{\pi}\log n+\frac{2}{\pi}\gamma+\mathcal{E}_n>\frac{2}{\pi}\log n+\frac{2}{\pi}\gamma>\frac{2}{\pi}\log n$$