¿Hay alguna otra manera de establecer esta identidad trigonométrica? $\frac{\sec(x) + 1}{\tan(x)} = \frac{\sin(x)}{1 - \cos(x)} $

Question

Yo necesarios para verificar su identidad trigonométrica: $$\frac{\sec(x) + 1}{\tan(x)} = \frac{\sin(x)}{1 - \cos(x)} $$

lo que hice es que he trabajado en ambos lados de forma individual:

LHS: $$\frac{\frac1{\cos(x)} + 1}{\frac {\sin(x)}{\cos (x)}} =\frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)}$$

RHS: $$\frac{\sin(x)}{1 - \cos(x)}=\frac {\sin(x)(1-\cos^2(x))}{1 -\cos^2(x)}=\frac {\sin(x)(1-\cos^2(x))}{\sin^2(x)}= \frac{1 +\cos(x)}{\sin(x)} $$

QED.

No puedo pensar en otra manera de comprobar esto, como de trabajo sólo en un lado.

Es que hay alguna?

Answer 1

$$\begin{align*} \frac{\sec x + 1}{\tan x} &= \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}{\sin x (1 - \cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x (1 - \cos x)} = \frac{\sin^2 x}{\sin x (1 - \cos x)} \\ &= \frac{\sin x}{1 - \cos x}. \end{align*}$$

Answer 2

Trabajando en ambos lados de

$$\frac{\sec(x) + 1}{\tan(x)} = \frac{\sin(x)}{1 - \cos(x)}$$

Primero se multiplica ambos lados por $\sin(x)$ dando

$$\frac{\tan(x) + \sin(x)}{\tan(x)} = \frac{\sin^2(x)}{1 - \cos(x)}$$

Desde $\sin^2(x) = 1-\cos^2(x)$ inmediatamente hacemos

$$1 + \cos(x) = 1 + \cos(x)$$

Answer 3

Aquí es un poco off-beat enfoque, el uso de la figura que yo llamo el Fundamental Trigonograph:

La mano derecha y la mano izquierda expresiones involucrar a los lados de la similar $\sec$-$\tan$-$1$ e $1$-$\sin$-$\cos$ sub-triángulos de la trigonograph.

Los triángulos son a su vez similar a la de "$\operatorname{hyp}$-$\operatorname{opp}$-$\operatorname{adj}$" triángulo, de manera que podemos escribir $$\frac{\sec\theta + 1}{\tan\theta} = \frac{\operatorname{hyp}\theta+\operatorname{adj}\theta}{\operatorname{opp}\theta} \qquad\qquad \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} = \frac{\operatorname{opp}\theta}{\operatorname{hyp}\theta\operatorname{adj}\theta} \etiqueta{1}$$

La igualdad de las fracciones en $(1)$ sigue de Pitágoras (donde voy a suprimir el "$\theta$"s para salvar a escribir y a reducir el desorden):

$$\operatorname{opp}^2 = \operatorname{hyp}^2 - \operatorname{adj}^2 = \left(\operatorname{hyp} + \operatorname{adj}\right)\left(\operatorname{hyp} - \operatorname{adj}\right) \qquad\ffi\qquad \frac{\operatorname{hyp} + \operatorname{adj}}{\operatorname{opp}} = \frac{\operatorname{opp}}{\operatorname{hyp} - \operatorname{adj}} \etiqueta{2}$$

---

Tenga en cuenta que $(2)$ nos da no sólo la identidad en cuestión, sino toda una serie de resultados relacionados con: Simplemente elija cualquiera de los dos sub-triángulos de la Fundamental Trigonograph y forma la proporción que les corresponda. Compilar una lista completa se deja como ejercicio para el lector, pero aquí está uno de los más elaborada-ejemplos, usando el triángulo más grande en el papel de cada uno de los sub-triángulo:

$$\frac{\cot+\tan+\csc}{\sec} = \frac{\sec}{\cot+\tan-\csc} \tag{3}$$

Ver los componentes de esta identidad en medio de los elementos Fundamentales de la Trigonograph ---por lo que reconocemos que esto es sólo otro ejemplo de $(2)$--- no es necesariamente fácil. Sin embargo, cuando esto sucede, se puede ahorrar la molestia de la broca estándar de convertir todo a senos y cosenos y otras cosas.

Answer 4

\begin{align} \frac{\sec(x) + 1}{\tan(x)}&=\frac{\cos(x) + 1}{\sin(x)}\\ &=\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}\\ &=\frac{2\cos(x/2)}{2\sin(x/2)}\\ &=\frac{2\cos(x/2)\sin(x/2)}{2\sin^2(x/2)}\\ &=\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\\ \end{align}

Answer 5

Trate de hacer la RHS a la inversa. :-)