¿Por qué es $Z^{p}-Z$ es siempre un múltiplo de $p$ Donde $p$ es un número primo, y $Z$ es un entero positivo?

Question

Llegué a la conclusión de que $Z^{p}-Z$ es siempre un múltiplo de $p$. $\ $Donde $p$ es un número primo, y $Z$ es un entero positivo.

Tengo las siguientes cuatro preguntas:
a) alguien Podría proporcionar una completa prueba de esta afirmación?
b) Si cualquier contador ejemplos se pueden encontrar?
c) Si, esto puede ser fácilmente deriva de las propiedades de los números primos de Mersenne en el caso de $Z=2$?
d) Si este hecho cierto, ¿ya tiene un nombre, la página de wikipedia, etc... (no he logrado encontrar la mención de este hecho (si es cierto), pero me gustaría ser dirigido a dónde puedo aprender más, si es conocida)

He probado esto con approxamitely 80 conjuntos de números y parece que se sostienen.

He encontrado un parcial y defectuosa de la prueba, pero lo explica algunos de los casos. Originalmente comenzó a pensar en este problema cuando me di cuenta de que debido a que 7 puede ser expresado como un decimal de repetición con seis repetición de dígitos, el siguiente debe ser verdadero: $$\frac 1 7 * \frac n n = \frac n {{10}^6-1}$$ (because $\overline {0.000001} = \frac 1 {{10}^6-1}$, in this case $n = 142857$). $\ $Hence, ${{10}^6-1}$ is a multiple of 7. $\ $Since $10*({{10}^6-1})$ is still a multiple of seven, ${{10}^7-10}$ must clearly be a multiple of $7$, conforming with the original formula. I first tested the previously mentioned equation on the assumption that these steps should hold true in every base. $\ $However, this would seem to apply only to numbers with $7$'s property of repeating every $n-1$ dígitos, y que sería, de hecho, ser cierto para todas las bases. Espero fuller expanation puede ser proporcionada.

Answer 1

Esto se conoce como Fermat Poco Teorema. Hay muchas pruebas. Aquí están algunos, todo en Matemáticas.SE.

1. Dirichlet de la primaria de la prueba.
2. Una aplicación de la inducción y el teorema del binomio.
3. Una aplicación de Lagrange del Teorema de teoría de grupos.
4. Una prueba mediante la existencia de raíces primitivas.

Se pregunta si esto puede ser determinado a partir de las propiedades de los números primos de Mersenne. De hecho, la historia de Fermat Poco y Teorema de los números primos de Mersenne son entrelazados, y algunos han tratado de uso de Fermat Poco Teorema para entender mejor los números primos de Mersenne.

De hecho, la razón por la que la mayor prime, como sabemos, es siempre un Mersenne prime es debido a la rápida tiempo de ejecución de la de Lucas-Lehmer primalidad de la prueba, que utiliza las ideas muy relacionadas con Fermat Poco Teorema. Ver por ejemplo este post de Terry Tao alguna descripción de las relaciones.