Comprensión de los derivados

Question

No sé si esto está escrito en algún otro lugar. He buscado por todo el internet así que disculpas si esto ya ha sido cubierto.

Estoy haciendo Año 12 Matemáticas en Australia para lo que vale. En nuestros libros de texto, la fórmula para encontrar la derivada de una función es:

Si $y = ax^n$$\frac {\mathbb d y} {\mathbb d x} = anx^{n-1}$. Puedo ver que esto funciona de manera algebraica, pero..

Una explicación/fórmula que he encontrado en internet, pero no en mi libro de texto es de la forma: $\frac {f(x+h)-f(x)} h$.

Con la última fórmula, que no estamos enseñado, puedo ver visualmente en una gráfica y algebraicamente si me hacen la diferencia entre dos x valor cada vez menor diferencia como 0.000...0001, a continuación, se da una y la diferencia de valor que se aproxima muy de cerca el real de la tangente en un punto dado. Esperamos que tengo que corregir.

Lo que tengo la esperanza de obtener una comprensión intuitiva de por qué este es el mismo (deduzco que no siempre?) como en la forma $\frac {\mathbb d y} {\mathbb d x} (ax^n) = anx^{n-1}$ ?

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Para entender tal fórmula, a menudo es útil para hacer un ejemplo, primero y, a continuación, tratar el caso general.

Tomemos $f(x) = x^2$, una sencilla función. Con su fórmula es $f'(x) = 2x^{2-1} = 2x$

Lo que han encontrado es en realidad $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Como se puede ver, divding a través de $0$ está prohibido. Nos pusimos en la función y obtenemos:

$\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \, 2x+h = 2x$, que es exactamente lo que su fórmula dice, demasiado.

En realidad, $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ es la definición de la derivada. Todos los demás de la fórmula se puede deducir a partir de esta definición.

Answer 2

Cuál es su libro de texto le dio como un derivado es un caso muy especial, es decir, la derivada de un polinomio. En realidad se puede utilizar la definición que ha encontrado en internet para demostrar la fórmula de $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} x^n = nx^{n-1}$:

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} x^n = \lim_{h\to0} \frac{(x+h)^n-x^n}h \\ = \lim_{h\to0} \frac{x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}2 x^{n-2}h^2 + \ldots + h^n - x^n}h = \lim_{h\to0} nx^{n-1} + h\left(\frac{n(n-1)}2 x^{n-2} + \ldots + h^{n-2}\right) = nx^{n-1}$$

Answer 3

Realmente depende de lo que su definición de la derivada es. Hay dos definiciones dadas en el Cálculo: $$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ and $$f'(a) = \lim_{a\to x} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

Supongamos que $f(x) = x^n$. A continuación, $$x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \cdots + a^{n-1}).$$

Esto le da: $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x-a} = \lim_{x\to a}\frac{(x-a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \cdots + a^{n-1})}{x-a} = $$ $$\lim_{x\to a} x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \cdots + a^{n-1}$$

Note ahora que ya hemos eliminado el denominador, ahora podemos evaluar el límite del polinomio resto de evaluarla en $x=a$. Ahora cada término se convierte en $a^{n-1}$ e hay $n$ términos. Esto produce:

$$f'(a) = na^{n-1}.$$

Answer 4

Usted podría comprobar por ti mismo si sabe el Teorema del Binomio.

Acaba de expandir $(x+h)^n=x^n+nhx^{n-1}+\text {terms involving higher powers of} h$. A continuación, cancelar la $h$ desde la línea de fondo y deje $h\rightarrow0$.

Entonces usted tiene su resultado.

Answer 5

el cociente tiene se llama el cociente de la diferencia. se aproxima a la pendiente de la curva/recta tangente en el punto.

sólo para ser específicos permite tomar $$f(x) = x^2$$ and look at the tangent at the point $(1,1).$ first we will look at the difference quotient $$\frac{x^2 - 1^2}{(x-1)}$$ for values of $x$ close to $1.$

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & .9 & .99 & .999 & 1.0 & 1.001&1.01 &1.1\\\hline \frac{x^2-1}{x-1}&1.9&1.99&1.999&undefined&2.001&2.01&2.1\\ \hline\end{array}$

se puede ver en la tabla que la diferencia cociente se aproxima al valor de $2$ $x$ enfoques $1$ desde la izquierda y desde la derecha.

decimos que la gráfica de $y = x^2$ tiene una pendiente de $2$ en el punto de $(1,1)$ o el derivado de la $x^2$ $x=1$ $2.$