No Vandermonde matriz de Vandermonde-como determinante?

Question

Esta pregunta está relacionada con la anterior. Considere la posibilidad de $n$ variables $x_1,x_2,\ldots,x_n$ y el siguiente $n\times n$ matriz:

$$ A=\begin{bmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ x_2 + x_3 + \dots + x_n & \dots & x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} \\ x_2{x_3} + x_2{x_4}+ \dots + x_{n-1}x_n & \dots & x_1{x_2} + x_1{x_3}+ \dots + x_{n-2}x_{n-1 } \\ \vdots & \dots & \vdots\\ x_2 x_3 \dots x_n & \dots & x_1 x_2 \dots x_{n-1} \\ \end{bmatrix}. $$ Al $i>1$, el elemento $a_{ij}$ es la suma de todos los posibles productos de $i-1$ variables $x_k$'s con distintos índices, salvo que $x_j$ no está participando en cualquier término en la columna de $j$. Formalmente, $$ a_{ij}=\sum_{k_1<\cdots<k_{i-1} \text{ y se } \ne j} x_{k_1}x_{k_2}\cdots x_{k_{i-1}}. $$

Por supuesto, cuando algunos $x_i=x_j$, $A$ tiene dos columnas iguales y se convierte en singular, pero es esta la única posibilidad para $\det A=0$?

Answer 1

La Vee que es correcto. Este es un determinante de Vandermonde, pero creo que hay una manera más simple derivación. Para subrayar la dimensión de $A$ y su dependencia de la $x_1,\ldots,x_n$, se denota la matriz por $A_n(x_1,\ldots,x_n)$ lugar. Tenga en cuenta que cuando se $i,j>1$, tenemos $$ \begin{align*} a_{ij}-a_{i1}=(x_1-x_j)\sum_{k_1<\cdots<k_{i-2} \text{ and they are } \ne 1,j} x_{k_1}x_{k_2}\cdots x_{k_{i-2}}. \end{align*} $$ Por lo tanto, si le restamos la primera columna de cada columna, obtenemos $$ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ \ast & A_{n-1}(x_2,\ldots,x_n)\operatorname{diag}(x_1-x_2,\ldots,x_1-x_n)\ \end{bmatrix} $$ y, por tanto,$\det A_n(x_1,\ldots,x_n)=(x_1-x_2)\cdots(x_1-x_n)\det A_{n-1}(x_2,\ldots,x_n)$. Proceder de forma recursiva, obtenemos $$ \det A_n(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i<j}(x_i-x_j) $$ y el determinante se desvanece si y sólo si $x_i=x_j$ dos $i,j$.

Answer 2

El determinante de esta matriz es en realidad el determinante de Vandermonde (hasta un signo factor, creo, pero me podría haber cometido un error). Usted puede encontrar usando el mismo algoritmo:

1. restar copias de la primera columna de todos los demás (no hay cambio de determinante)

2. restar múltiplos de la primera fila de cada uno de los otros para cancelar $A_{n,1}$ términos (sin cambios en el factor determinante)

3. sacar la submatriz de segundo a través de $n$-ésima fila y la columna

4. factorización de todos los polinomios, aviso que la primera columna es divisible por $(x_2-x_1)$, la segunda columna por $(x_3-x_1)$, etc.

5. dividir cada columna por su principal elemento determinante obtiene un prefactor de $\prod_{k=2}^n (x_k - x_1)$)

6. encontrar que lo que queda es exactamente de la misma forma como de donde empezó, sólo con $x_2, x_3, \ldots, x_n$

7. repita.

---

El paso crucial en la realización de esta formalmente es la escritura de la diferencia de dos elementos de la matriz en la misma fila

$$\begin{aligned} A_{k,l} - A_{k,m} &= S_l^{k-1} - S_m^{k-1} = (S^{k-1} - x_l S_l^{k-2}) - (S^{k-1} - x_m S_m^{k-2}) = x_m S_m^{k-2} - x_l S_l^{k-2} = \\ &= x_m (x_l S_{m,l}^{k-3} + S_{m,l}^{k-2}) - x_l (x_m S_{m,l}^{k-3} + S_{m,l}^{k-2}) = x_m S_{m,l}^{k-2} - x_l S_{m,l}^{k-2} = (x_m - k_l) S_{m,l}^{k-2} \end{aligned}$$

donde $S^k_{a,b,\ldots}$ es la primaria simétrica polinomio de orden $k$ excluyendo $x_a, x_b, \ldots$.

---

Así que para responder a tu pregunta: el determinante es cero exactamente cuando Vandermonde sería, que a su vez es si y sólo si existen dos $x_i$ valores que coinciden.