Cubo de un número entero

Question

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=k$ $x, y, z, k$ son enteros.

Demostrar que $xyz$ es el cubo de un número entero número.

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Me preguntaba acerca de dar una parametrización para los puntos racionales de la curva elíptica en $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ $$ x^2 y + y^2 z + z^2 x = k xyz$$ pero no estoy demasiado seguro en el tema, así que yo estoy pidiendo a arrojar algo de luz.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Deje $p$ ser una de las primeras si $p$ divide $x$, $y$ y $z$ a continuación, se aporta un cubo de a $xyz$ y más que todo puede ser dividido por $p$ para obtener la ecuación de nuevo. Así que supongamos, sin pérdida de ese $p$ no divide $z$. Deje $p$ brecha $x$, a continuación, a partir de la ecuación en la forma

$$x^2z+y^2x+z^2y=kxyz$$ we see that $p \mediados de z^2y$ and since by assumption it does not divide $z$ we have $p \mid y$. Let $x=p^na$ and $y=p^mb$ be the largest exponents of $p$ dividing $x$ and $$y.

Entonces tenemos $$p^{2n}a^2z+p^{2m+n}b^2a+p^mz^2b=kp^{n+m}abz$$ Ahora, en primer lugar, si todos los exponentes $2n, 2m+n, m$ son diferentes, su mínimo es mayor que o igual a $m+n$ (uno debe admitir la posibilidad de que $p$ divide también a $k$).

Ahora $m<2m+n$ $2m+n$ no es un mínimo. Los dos posibles mínimos se $2n$$m$.

Si $m$ es el mínimo, a continuación, $n+m\leq m$ y esto es imposible. Si $2n$ es el mínimo, a continuación,$n+m\leq 2n$$m\leq n$, pero si $2n$ es un mínimo, a continuación, $2n < m$ también imposible. Esto significa que no debe haber dos o más iguales valores mínimos. $2m+n$ no es un mínimo que se comentó antes y así nos quedamos con $2n=m$. Esto implica que $p^{3n}$ es la potencia exacta de $p$$xyz$. Por lo tanto, $xyz$ es un cubo.