Obvia "categorification" de la métrica de los espacios es la siguiente.
Primero, pongámonos de acuerdo para ver $\mathbb{R}_+$ como un ordenado Abelian monoid, donde por "Abelian monoid" que significa realmente una categoría cuya ley de composición es denotado $+$, y que deban ser conmutativa, tener un solo objeto, cuya identidad flecha se denota $0.$
Entonces podemos definir que un categorial pseudometric espacio es un pequeño estricto categoría $C$ cuyos objetos son llamados "puntos" y cuyos morfismos son llamados "unparametrized caminos" o simplemente "caminos"," equipado con un functor $l$ (llamados "longitud") en el Abelian monoid $\mathbb{R}_+$, tal que para cualquier par de puntos $x,y$ existe un camino de $x \rightarrow y$ de longitud mínima entre todos los otros caminos.
Para conseguir una verdadera categorial métrica del espacio, se debe exigir también que los si $x$ $y$ son distintos objetos de $C$ $f : x \rightarrow y$ es una ruta de acceso, $l(f) \neq 0.$
Ahora en realidad no lo he probado, pero parece obvio que tenemos un (clásica) espacio métrico de cualquier categorial espacio métrico (definido como más arriba). Basta con definir una función de distancia $d : (\mathrm{Ob} C)^2 \rightarrow \mathbb{R}_+$ al afirmar que para todos los objetos de $x$$y$$C$, $d(x,y)$ es igual al mínimo de la expresión $l(f),$ donde $f$ rangos de todas las $f : x \rightarrow y$. Un mínimo necesariamente existe, por hipótesis.
¿Cuál es el nombre verdadero de los llamados "categorial métrica espacios"?
