El lema de Poincaré, las formas diferenciales y los problemas

Question

Creo que necesito algunas pistas sobre una prueba que estoy leyendo actualmente para poder entenderla. La cuestión es similar a la construcción utilizada en el lema 17.9 del libro "Introduction to smooth manifolds" de John Lee. Desgraciadamente, en este momento no estoy al nivel de entender su notación, aunque probablemente respondería a mi pregunta. Sea $\omega: M \times [0,1]$ sea una 2-forma diferencial ( $M$ es una variedad suave), entonces quiero transformarla en una forma 1 sobre $M$ mediante un mapa lineal $I : \Omega^2(M \times [0,1]) \rightarrow \Omega^1(M).$

Así que la idea es de alguna manera integrar con un operador $I$ sobre el $[0,1]$ parte para obtener la forma diferencial correcta.

En primer lugar, observo que cada $2-$ formulario en $M \times[0,1]$ es necesariamente de la forma $\omega = \omega_1 \wedge dt + \omega_2,$ donde $\omega_1$ es una forma 1 que sólo depende de las coordenadas de la variedad, $t$ es la coordenada del intervalo aquí y $\omega_2$ es una 2 forma que depende sólo de las coordenadas de $M$ . Claramente, por la simetría del producto cuña, no puede haber una 2 forma con $dt \wedge dt.$

Ahora, la gran pregunta es: ¿Cómo definir $I(\omega)$ para obtener los siguientes resultados; porque actualmente estoy leyendo unos apuntes de cátedra (no online por desgracia) en los que se utiliza exactamente una construcción de este tipo, y se dice que su integración con respecto al $[0,1]$ pero no se menciona explícitamente cómo se define, así que lo que este operador hace explícitamente a una forma en $M \times [0,1]$ . En definitiva, estoy buscando una explicación de lo que este operador $I$ lo hace exactamente. Permítanme que les facilite el cálculo que figura en las notas: Así que $\omega_1 = \sum_{i=1}^{n} a_i(x,t) dx_i,$ donde $x_1,...,x_n$ son coordenadas del colector $M$ y $\omega_2 = \sum_{i<j} b_{i,j}(x,t)dx_i \wedge dx_j$

Ahora, se dice que $I(\omega ) = \int_0^1 \omega_{p-1} dt.$ Así que de alguna manera este operador no afecta a $\omega_p$ si entiendo esto correctamente(tal vez porque no hay $dt$ ). Además, para $d \omega = d \omega_{p-1} \wedge dt + d \omega_{p}$ que puede escribirse en coordenadas como $$ d\omega_{p-1} \wedge dt= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \partial_{x_j} a_i(x,t) dx_j\wedge dx_i \wedge dt$$

y $$d \omega_p = \sum_{i<j} \left(\sum_{k=1}^{n} \partial_{x_k}b_{i,j}(x,t) dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j + \partial_t b_{i,j}(x,t)dt\wedge dx_i \wedge dx_j \right),$$ obtenemos por linealidad $I(d\omega) = I( d \omega_p) + I (d\omega_{p-1}\wedge dt)$ que en conjunto nos dará: $d(I(\omega))-I(d\omega) = (-1) (\sum_{i<j} b_{i,j}(x,1)-b_{i,j}(x,0)dx_i\wedge dx_j).$

Esto es lo que contienen los apuntes de la conferencia, ¿podemos decir de esto cómo $I$ actúa exactamente sobre las formas en $M \times[0,1]$ ?

Especialmente, por qué este operador da aparentemente cero, si la forma no depende de $t$ a través de $dt$ aunque $a,b$ dependen de $t$ ¿en general?

Si algo no está claro, por favor, hágamelo saber.

Answer 1

Tienes las cosas un poco confundidas. Para un $2$ -forma $\omega$ representado como $\omega = dt\wedge\omega_1 + \omega_2$ (Yo prefiero poner el $dt$ primero para evitar problemas de signos), definimos $$I(\omega) = I(dt\wedge\omega_1) = \sum_{i=1}^n\big(\int_0^1 a_i(x,t)dt\big)dx_i.$$ Sin embargo, para demostrar su fórmula, necesitamos definir el operador $I$ En general, en $p$ -formas, y lo hacemos de forma análoga. En coordenadas locales $(x_1,\dots,x_n)$ Escriba una descripción general $p$ -forma $\omega$ de forma similar a la anterior, ya que $\omega=dt\wedge \omega_1 + \omega_2$ , donde $\omega_1$ es un $(p-1)$ -forma que implica sólo $dx_i$ 's, y $\omega_2$ es un $p$ -forma que implica sólo $dx_i$ 's. Escribe $\omega_1 = \sum\limits_I a_I(x,t)dx_I$ donde estos son multiíndices de longitud $p-1$ . Entonces nos pusimos, una vez más, $$I(\omega)= I(dt\wedge\omega_1) = \sum_I\big(\int_0^1 a_I(x,t)dt\big)dx_I.$$

Ahora se deduce que para cualquier $p$ -forma $\omega$ en $M\times [0,1]$ , $d(I(\omega))+I(d\omega) = \iota_1^*\omega - \iota_0^*\omega$ , donde $\iota_t(x)=(x,t) \in M\times [0,1]$ .