Un integrante de la desigualdad (Rudin $L^p$-espacios 3.12)

Question

He estado aprendiendo acerca de $L^p$-espacios, y se topó con este problema en Rudin Real y el Análisis Complejo:

Supongamos $\mu(\Omega)=1$ $h:\Omega \to [0,\infty]$ es medible. Si $A= \int_\Omega {h d\mu}$, probar que: $$ \sqrt{1+A^2} \leq \int_\Omega \sqrt{1+h^2}d\mu \leq 1+A $$

Ya he demostrado que $\sqrt{1+A^2} \leq \int_\Omega \sqrt{1+h^2}d\mu$ usando la desigualdad de Jensen aplicado a la función convexa $\varphi(x)=\sqrt{1+x^2}$. Me parece que no puede mostrar la última desigualdad. Cualquier ayuda o sugerencias se agradece. Gracias de antemano!

Answer 1

Es más sencillo de lo que se esperaba. Desde $h \ge 0$$1 + h^2 \le 1 + 2h + h^2 = (1+h)^2$, de modo que $\sqrt{1 + h^2} \le 1+h$. Ahora integrar esta $\Omega$.