¿Cuántos puntos se puede colocar en $\mathbb{R}^n$, con el requisito de que no $n+1$ puntos se encuentran en el mismo $\mathbb{R}^{n-1}$-plano, y la distancia euclidiana entre cada dos puntos es un número entero?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tome $n=2$. Por una vieja resultado de Erdős y Anning, hay una colección infinita de puntos en el círculo unitario tal que todas las distancias mutuas son racionales. Escalando por $K!$ grandes $K$, esto significa que para cualquier entero $k$, podemos encontrar un círculo, y $k$ puntos en círculo, de tal manera que todas las distancias mutuas son enteros.
En el mismo papel, Erdős y Anning muestran que si tenemos una infinita colección de puntos en el plano tales que todas las distancias mutuas son enteros, entonces estos puntos deben estar en una línea.
El documento mencionado es bastante accesible.
Jono
Puntos
21
Como un límite inferior: n+1, dispuestos en un simplex (triángulo/tetahedron/etc.)
En el caso n=2, usted puede hacer cuatro puntos: (0,0) (0,3) (4,0) (4,3)... o usted puede utilizar cualquier terna Pitagórica {a,b,c} y el lugar de los puntos a (0,0) (0,a), (b,0) (b,a). Sin embargo, ese enfoque no puede ser extendida más allá de n=2, ya que no se conocen cuboides con el entero lados y de todos los enteros de las diagonales.
Hank
Puntos
156
Con la restricción de no hay tres puntos en una línea, no cuatro puntos en un círculo, hay un 7 configuración de puntos en el plano. Yo he venido aquí a preguntar sobre el límite superior en el espacio de 3 dimensiones, con la restricción adicional no 4 puntos sobre un plano.
[1] Tobias Kreisel y Sascha Kurz, No son parte integral de heptagons, no hay tres puntos en una línea, no cuatro en un círculo, Discreto Comput. Geom. 39 (2008), no. 4, 786-790, MR2413160 (2009d:52021) diagrama rotulado
