Diferenciar la función $y=\cos^{-1}(\sin x)$ en relación con $x$

Question

Encuentre $y'$ si $y=\cos^{-1}(\sin x)$

Se resuelve como $$ y=\cos^{-1}(\cos(\pi/2-x))=\frac{\pi}{2}-x\\ y'=-1 $$

Mi intento

La función está definida para todos los números reales. $$ y'=\frac{-\cos x}{\sqrt{1-\sin^2x}}=\frac{-\cos x}{\sqrt{\cos^2x}}=\frac{-\cos x}{|\cos x|}=\pm1 $$

Incluso en el primer método no es la forma correcta de resolver $$ y=\cos^{-1}(\cos(\pi/2-x))=\frac{\pi}{2}-x\\\implies\cos y=\cos(\pi/2-x)\\ \implies y=2n\pi\pm\big(\frac{\pi}{2}-x\big)\\ \implies y'=\pm1 $$

Es $y'=-1$ ¿una solución completa?

Answer 1

La función $\cos\mid_{[0,\pi]}:[0,\pi]\to[-1,1]$ es biyectiva y tiene la inversa $\arccos:[-1,1]\to [0,\pi]$ y $\arccos(\cos(x))=x$ para todos $x\in[0,\pi]$ mientras que $\cos(\arccos(y))=y$ para todos $y\in[-1,1]$ . Más información en $\cos\mid_{[0,\pi]}'(0)=\cos\mid_{[0,\pi]}'(\pi)=0$ y por lo tanto $\arccos$ es simplemente diferenciable en $(-1,1)$ .

Por lo tanto $\arccos(\cos(\frac{\pi}2-x))=\frac{\pi}2-x$ se mantiene sólo si $\frac{\pi}2-x\in [0,\pi]$ Así que $x\in \left[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right]$ .

Por eso debes utilizar la regla de la cadena y tener en cuenta que $y$ no es diferenciable si $\sin(x)=\pm1$ que es cuando $x=\frac{\pi}2+k\pi$ para algunos $k\in\mathbb Z$ . Entonces, tus cálculos son correctos: $$ y'=-\frac{\cos(x)}{|\cos(x)|}. $$ Pero no puedes decir $y'=\pm 1$ . Sólo hay una derivada y depende de $x$ . $$ y'=-\frac{\cos(x)}{|\cos(x)|}=\begin{cases} -1 & x\in \left(-\frac{\pi}2+2k\pi,\frac{\pi}2+2k\pi\right)\\ 1 & x\in \left(\frac{\pi}2+2k\pi,\frac{3\pi}2+2k\pi\right) \end{cases} $$ donde $k\in\mathbb Z$ .

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Si se traza el gráfico, el resultado ni siquiera sorprende:

https://www.desmos.com/calculator/odco70auib

Answer 2

Pista:

$\cos y=\sin x,$ y $0\le y\le\pi\ \ \ \ (1)$

$y=2k\pi\pm(\pi/2-x)$ donde $k$ es un número entero que cumple $(1)$

¿Y si $0\le 2k\pi+\pi/2-x\le\pi,?\le x\le?$