No estoy muy seguro de que esta secuencia converge.
Deje $ a_n = |\sin(n)|^{1/n}$. En primer lugar me gustaría dar una referencia a las siguientes papel
http://www.jstor.org/stable/2688681?seq=1#page_scan_tab_contents . Este documento afirma que el conjunto de límite de puntos de $\sin(n)$ es igual a $[-1,1]$. Sería evidente a partir de aquí que el sistema de límite de puntos es el valor absoluto de esta función sería igual a $[0,1]$.
Considere la posibilidad de $b_n = \log a_n = \frac{\log(|\sin(n)|)}{n}$. Si observamos primero en las subsecuencias de $b_{n_k}$ $b_n$ que $a_{n_k}$ tiene un punto límite de $y\in (0,1]$,$b_{n_k}\rightarrow 0$, lo que significaría que el correspondiente $a_{n_k}$'s convergería a $1$.
Por otro lado, si tenemos en cuenta las subsecuencias de $b_n$ que $a_{n_k}\rightarrow 0$, entonces debemos aplicar la regla de L'Hospital para averiguar el valor de limitación de $b_{n_k}$.
Permítanos abstraernos de los problemas con valor absoluto ya que solo le corresponden a menores detalles técnicos, y consideremos $b_{n_k}$ sin los valores absolutos y tomar derivados con respecto a $n_k$ tanto en el numerador y el denominador. Esto nos proporcionaría
$$
b_{n_k}\rightarrow -\frac{\cos(n_k)}{\sin(n_k)}.
$$
Desde $\sin(n_k)$ convergen a $0$, tendríamos $\cos(n_k)$ coverging a $1$. Esto implicaría que $b_{n_k}\rightarrow -\infty$. Esto a su vez nos permite concluir que $a_{n_k} = e^{b_{n_k}} \rightarrow 0$.
Como resultado, $a_n$ tiene dos límite de puntos de $0$$1$, por lo que no es convergente.
