La intuición:
Una manera de ver lo que está pasando es para ver los afín a la aproximación de las $e^x$ alrededor $0$: $$e^u \simeq e^0 + (e^\prime)(0) x = 1 + x$$ (this can be made formal by Taylor approximations to order $1$, for instance). This implies that your quantity is roughly $\a la izquierda(x+ 1+ \frac{x}{3}\right)^{3/x} = \left(1+ \frac{4x}{3}\right)^{3/x}$, where you recognize, setting $t = \frac{3}{x}\to \infty$, the limit $$\left(1+\frac{4}{t}\right)^t \xrightarrow[t\to\infty]{} e^4.$$ The only key is to make this first approximation $\simeq$ riguroso, que se realiza a continuación.
Un enfoque basado en las expansiones de Taylor: (pero que no requiere de ningún conocimiento de ellos, además de la notación de Landau $o(\cdot)$ - justificar lo que se necesita como vamos)
Inicio (como a menudo cuando usted tiene una base y un exponente dependiendo $x$) por volver a escribir en forma exponencial:
$$
\left(x+e^{\frac{x}{3}}\right)^\frac{3}{x} = e^{\frac{3}{x}\ln\left(x+e^{\frac{x}{3}}\right)}
$$
Ahora, cuando $u\to 0$,$\frac{e^u-1}{u}\to \exp^\prime 0 = e^0 = 1$, por lo que el $e^u = 1+u + o(u)$; lo que da $$x+e^{\frac{x}{3}} = x+1+ \frac{x}{3} + o(x) = 1+\frac{4}{3}x.$$
Del mismo modo, desde la $\frac{\ln(1+u)}{u}\xrightarrow[u\to 0]{} 1$,$\ln(1+u) = u + o(u)$. La combinación de los dos, obtenemos
$$\ln\left(x+e^{\frac{x}{3}}\right) = \ln\left(1+\frac{4}{3}x\right) = \frac{4}{3}x + o(x).$$
Poner juntos,
$$
\frac{3}{x}\ln\left(x+e^{\frac{x}{3}}\right) = \frac{3}{x}\left(\frac{4}{3}x + o(x)\right) = 4 + o(1) \xrightarrow[x\to 0]{} 4
$$
y, por la continuidad de $\exp$,
$$e^{\frac{3}{x}\ln\left(x+e^{\frac{x}{3}}\right)} \xrightarrow[x\to 0]{} e^4.
$$
