Necesito demostrar lo siguiente:
Sea $R$ un anillo arbitrario (según Lang, Bourbaki, etc., por lo tanto, con $1$). Sea $M$ un módulo libre sobre $R$, y sea $A$ una de sus bases. Si $|\mathbb{N}| \leq |A|$, entonces todas las bases de $M$ tienen la misma cardinalidad.
¿Alguna idea de cómo demostrarlo? Obviamente, cada elemento de $A$ es una suma finita única de elementos de $B$, y viceversa.
Si un módulo gratuito tiene una base infinita, no es finitamente generado; por lo que cualquier par de bases debe ser infinito.
Supongamos que $B$ y $C$ son bases. Para cada $b\in B$, existe un subconjunto finito $C(b)$ de $C$ tal que $b$ es una combinación lineal de los elementos en $C(b)$. Por lo tanto, tenemos una función $b\mapsto C(b)$; entonces $|B|\ge|\{C(b):b\in B\}|$. Dado que cada $C(b)$ es finito, tenemos $$ \Bigl|\bigcup_{b\in B}C(b)\Bigr|\le \aleph_0|B|=|B| $$ Ahora, probamos que $$ \bigcup_{b\in B}C(b)=C $$ Por simetría, $|B|\le|C|$.
¿Puedes ayudar a entender por qué $\bigcup_{b \in B} C(b) = C$? Lo he estado pensando por un tiempo, pero sin éxito. Obviamente, $\bigcup_{b \in B} C(b) \subseteq C$, así que asumimos que hay un $b' \in B \setminus \bigcup_{b \in B} C(b)$ y deberíamos llegar a una contradicción.
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¿El anillo $R$ es conmutativo con unidad? En caso afirmativo, puedes usar productos tensoriales.
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@RenanManeliMezabarba no, es un anillo arbitrario (con $1$), no necesariamente conmutativo.
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En este caso no sé cómo proceder, lo siento.