Cómo mostrar que $\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} \in \mathbb{Z}$?

Question

Cómo mostrar que las siguientes es verdadera? $$\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} \in \mathbb{Z}$$

He tratado de establecer $$\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} = r,$$ $$a=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}},$$ $$b=\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}},$$ and used the identity $$(a^{1/3} + b^{1/3})^3 = a + b + 3(ab)^{1/3}(a^{1/3} + b^{1/3})$$ but I got nowhere. I am stuck at $$\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right)^3=52+ 3 \cdot \left(a^{1/3}+b^{1/3}\right)$$ Yo estaría encantado en cualquier ayuda.

Answer 1

Set $ r=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$. Entonces $$r^3= 26+15\sqrt{3}+3\sqrt[3]{( 26+15\sqrt{3})^2}\sqrt[3]{ 26-15\sqrt{3}}+3\sqrt[3]{ 26+15\sqrt{3}}\sqrt[3]{( 26-15\sqrt{3})^2}+ 26-15\sqrt{3}=52+3( \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{ 26-15\sqrt{3}}\;)=52+3r.$$ Therefore $r^3-3r-52=0$. A quick factorization gives us $(r-4)(r^2+4r+13)=0$. Since $ r^2+4r+13$ doesn't have real roots, we deduce that $ r=4$.

Answer 2

Tenemos $$ 26 \15 pm\sqrt{3} = (2 \pm \sqrt{3})^3 $$ (por suposiciones, vea la nota de abajo) que nos da $$ \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26-15\sqrt3} = 2+\sqrt3+2-\sqrt3 = 4 $$

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Nota sobre adivinanzas: yo supuse que $26 + 15\sqrt3$ sería un buen cubo de la forma $(n + m\sqrt3)^3$ para los números enteros (o, al menos, los números racionales) $n, m$. Si ese fuera realmente el caso, entonces tendríamos $$ 26 + 15\sqrt3 = (n + m\sqrt3)^3 = n^3 + 3n^2m\sqrt3 + 9nm^2 + 3m^3\sqrt3 $$ que luego se convierte en $$ n^3 + 9nm^2 = 26 \qquad\bigwedge\qquad 3(n^2m + m^3) = 15 $$ La segunda ecuación se convierte en $(n^2 + m^2)m = 5$ ha $n = 2, m = 1$ como la mejor solución. Resulta que esta solución también se resuelve la primera ecuación, así que hemos terminado.

Answer 3

Encontrar $p$ $q$ tal que $$ -\frac{p}{2}=26 \qquad \frac{p^2}{4}+\frac{p^3}{27}=675 $$ Llegamos $q=-52$$p=-3$. Por lo que su número es raíz de $$ x^3-3x-52=0 $$ y se puede ver que $4$ es la única solución real. Cardan la fórmula le dice que $$ \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}=4 $$

Alternativamente, $$ \frac{1}{26-15\sqrt{3}}=\frac{26+15\sqrt{3}}{26^2-675}=26+15\sqrt{3} $$ por lo $b=a^{-1}$. Entonces $$ r^3=(a+a^{-1})^3=a^3+3a+3a^{-1}+a^{-3}=3r+52 $$