Función continua en un espacio métrico compacto

Question

La pregunta es:

Supongamos $f\colon X\to Y$ es continua en un espacio métrico compacto $X$, $Y$ es un espacio métrico y $C\subset Y$ es cerrado. Demostrar que para cualquier vecindario $U$$f^{-1}(C)$$X$, existe un abierto vecindario $V$ $C$ $Y$ tal que $f^{-1}(V)⊂U$.

He tratado de argumentar que el $f^{-1}(C)$ es cerrado (y por lo tanto compacto) por la continuidad de $f$ y la compacidad de $X$, $C=f(f^{-1}(C))$ también es compacto por la continuidad de $f$ nuevo.

Pero la compacidad de los dos conjuntos parece que no me ayuda mucho. Alguien me puede ayudar? Thx!

Answer 1

Deje $U$ ser un barrio de $f^{-1}(C) \Longrightarrow U^c\cap f^{-1}(C)=\emptyset$.

A continuación, $U^c$ es compacto $\Longrightarrow f(U^c)$ es compacto $\Longrightarrow$ cerrado y $C\cap f(U^c)= \emptyset$
(Prueba: Si $x\in C\cap f(U^c)$ $x=f(a)$ para algunos $a\in U^c \Longrightarrow$ $a\in U^c\cap f^{-1}(C)=\emptyset$ ↯).

Ahora nos encontramos con $V$ abierto con $C\subset V $$V\cap f(U^c)=\emptyset$.

Mostrar que $f^{-1}(V) \cap U^c=\emptyset$. Por lo tanto,$f^{-1}(V)\subseteq U$ .

Answer 2

Esto no parece ser cierto como está planteada. (Edit: O antes de que se añadió que las $Y$ es también un espacio métrico).

Tome $Y=\{0,1\}$$\tau=\{\emptyset,\{0\},\{0,1\}\}$, y elija $f:[0,1]\to (\{0,1\},\tau\,)$ mediante el establecimiento $f(\frac{1}{2})=1$ $f(x)=0$ lo contrario. La preimagen de cada conjunto abierto es abierto por lo que esta función es continua, y $[0,1]$ es un espacio métrico compacto. Tome $C=\{1\}$, que es un subconjunto cerrado de $\{0,1\}$ desde su complemento es abierto, y $f^{-1}(C)=\{\frac{1}{2}\}$. Ahora, tomando $U=]\frac{1}{4},\frac{3}{4}[$, por ejemplo, como un abrir barrio de $f^{-1}(C)$$[0,1]$,$f^{-1}(\{0,1\})=[0,1]\not\subset ]\frac{1}{4},\frac{3}{4}[$, e $\{0,1\}$ es el único conjunto abierto que contiene a $C$. Así que para cualquier abierto de vecindad $V$ $C$ tenemos $f^{-1}(V)\not\subset U$.