¿Extender una topología a combinaciones lineales?

Question

Supongamos que tengo un espacio topológico $X$ y algún campo arbitrario $K$ . Estoy tratando de describir de manera agradable un conjunto de funciones en ${}_K X$ el conjunto de $K$ -combinaciones lineales de valores en $X$ . Siento que parte de la respuesta que quiero es la continuidad, pero no sé cómo extender la topología en $X$ a ${}_K X$ muy bien. ¿Existen formas estándar de hacerlo?

$K$ deben ser tratados como discretos. Las suposiciones leves sobre $X$ probablemente estén bien. En particular, $X$ es Hausdorff y compacto, si eso ayuda.

Answer 1

Una cosa que se podría hacer sería imitar las ideas de la dualidad de Gelfand. Sin embargo, esto será de mayor utilidad si $X$ es "cero-dimensional" en el sentido de que su topología admite una base de conjuntos cerrados.

• Dejemos que $C(X,K)$ sea el espacio vectorial (sobre $K$ ) de mapas continuos $X \to K$ . Tenga en cuenta una función $f \in C(X,K)$ es constante en cada componente conectado de $X$ desde $K$ es discreto.

• Hay un mapeo $x \to \widehat x : X \to C(X,K)^*$ que envía $x$ a la función de evaluación puntual dada por $\widehat x(f) = f(x)$ . Este mapeo no es típicamente inyectivo. Si $x_1$ y $x_2$ están en la misma componente de (o incluso en la misma cuasi-componente, aunque no hay diferencia para un espacio compacto de Hausdorff) de $X$ entonces $\widehat x_1 = \widehat x_2$ .

• Se puede topologizar el doble $C(X,K)^*$ con la topología "weak-star" (quizás no sea la terminología correcta cuando se trata de un campo discreto) tomando la topología más gruesa tal que $\varphi \to \varphi(f) : C(X,K)^* \to K$ es continua para cada $f \in C(X,K)$ . En particular, una red de evaluaciones puntuales $\widehat x_i$ convergerá a $\widehat x$ si y sólo si $f(x_i) \to f(x)$ por cada $f \in C(x)$ . En otras palabras, si y sólo si, para cada $f \in C(X,K)$ , uno tiene $f(x_i) = f(x)$ para índices suficientemente grandes $i$ . En otras palabras, si y sólo si $x_i$ está finalmente en cualquier vecindad cerrada de $x$ .

• Se puede topologizar el espacio $\bigoplus_{x \in X} K$ de $K$ -combinaciones lineales de puntos de $X$ con la topología más gruesa que hace el único mapa lineal $\bigoplus_{x \in X} K \to C(X,K)^*$ ampliando $x \mapsto \widehat x : X \to C(X,K)^*$ continua. En el caso de que este último mapa sea inyectivo (es decir, cuando existe una base de conjuntos cerrados para $X$ ), esta topología en $\bigoplus_{x \in X} K$ induce la topología original en $X$ . De lo contrario, supongo que inducirá alguna topología más débil en $X$ que no logra separar los puntos de $X$ en el mismo componente conectado.