Condiciones cuando las soluciones de $\dot{x} = f(x)$ existen en todos los tiempos

Question

Estoy leyendo los siguientes libros de texto:

Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Wiggins p.92 (parte superior)

Considere la posibilidad de $$\dot{x} = f(x)$$ where $f(x)$ is $C^r$, $r\geq 1$, on some open set $U\in \mathbb{R}^n$. Supongamos que existen soluciones para todo el tiempo (lo Deja como un ejercicio para hacer las modificaciones necesarias cuando existen soluciones sólo en tiempo finito de intervalos).

Mi problema es cuáles son las condiciones que existen soluciones para todo el tiempo.

Considerar y ejemplo: $$\dot{x} = x^2, \ \ \ \ x\in \mathbb{R}$$

the solution through $x_0$ at $t = 0$ is $$x(t,0,x_0) = \frac{-x_0}{x_0t - 1}$$

this solution (trajectory) does not exist for all time, since it becomes infinite at $t = 1/x_0$.

Entonces, ¿cuáles son las condiciones para hacer una solución de existir para todos los tiempos

Answer 1

Condiciones habituales de la existencia infinita de soluciones de $\dot x=f(x)$ son las restricciones para el crecimiento lineal como $$ |\dot x|=|f(x)|\le C(1+|x|) $$ o $$ \frac12\frac{d}{dt}|x|^2=|x^T\dot x|=|x^Tf(x)|\le C(1+|x|^2) $$ que imponer una exponencial límite en el crecimiento de las soluciones. La solución de la diferencial correspondiente a las desigualdades con el Grönwall lema.

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Estas no son las únicas condiciones, sólo la relativamente fácil. Si el campo vectorial $f(x)$ puntos hacia adentro en el límite de un conjunto acotado $U$, todas las soluciones están restringidos a $U$ y por lo tanto limitado y existen para todos los positivos veces. Esto se ve geométricamente simples, pero pueden ser difíciles de establecer,