Aquí es una elaboración de Qiaochu del comentario anterior:
Un $2n\times 2n$ matriz $A$ induce un emparejamiento (decir en vectores columna), es decir,
$$\langle v,w \rangle := v^T A w.$$
Por lo tanto podemos pensar de $A$ como ser un elemento de $(V\otimes V)^*$ (que es
el espacio de todos los emparejamientos bilineales en $V$), donde $V$ es el espacio de la $2n$-dimensiones vectores columna.
Si $A$ es sesgar-simétrica, entonces este emparejamiento es anti-simétrica, por lo que podemos realmente lo que respecta $A$ como un elemento de $\wedge^2 V^*$. Entonces podemos tomar el $n$th potencia exterior de $A$, así como para obtener un elemento de $\wedge^{2n} V^*$. Este último espacio es $1$-dimensional, y por tanto, si nos corregir algunos adecuadamente normalizado de la base, el $n$th potencia exterior de $A$ puede ser pensado sólo como un número. Este es el Pfaffian de $A$ (siempre elegimos la base correcta para $\wedge^{2n} V^*$).
Cómo se compara esto con la descripción habitual de los factores determinantes a través exterior poderes:
Para esto, consideramos que $A$ como un endomorfismo $V \to V$, lo que induce a un endomorfismo $\wedge^{2n} V \to \wedge^{2n} V$, que es un escalar (siendo la de un endomorfismo de un $1$-dimensiones del espacio); esto es $\det A$.
Así que ahora tenemos que ver de donde la fórmula $\det(A) =$ Pf$(A)^2$ viene de: calcular el determinante consiste en tomar una $2n$th potencia exterior de $A$, mientras que el cálculo de la Pfaffian sólo implica tomar una $n$th potencia exterior (debido a que utilizamos el skew-simetría de $A$ para obtener el exterior de la plaza de "gratis", por así decirlo).
La clasificación de los detalles de todo esto debe ser un ejercicio divertido.
