El mapa de $w=f(z)=\frac{i(1-z)}{1+z}$.

Question

Ahora estoy estudiando de análisis complejo de ahora. Ahora quiero encontrar la imagen de la derecha la mitad de avión $Re(z)>0$ bajo la transformación lineal $w=f(z)=\frac{i(1-z)}{1+z}$.

Answer 1

Una cosa que es útil saber acerca de las funciones de la forma $f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ es que preserven los círculos en la esfera de Riemann. La esfera de Riemann es $\mathbb C\cup\{\infty\}$, en el avión, con un punto en el infinito ajoined, donde puede acercarse a ese punto por ir en cualquier dirección. Un círculo en la esfera de Riemann es un círculo en el sentido usual de la palabra o una línea recta. Cuando se trata de una línea recta, a continuación, $\infty$ es uno de los puntos en el círculo.

El límite de la mitad derecha del plano-es una línea recta, por lo tanto, un círculo en la esfera de Riemann; por lo que su imagen bajo esta asignación es otra línea recta o un círculo.

Así que aviso que \begin{align} f(0) & = i \\ f(i) & = 1 \\ f(-i) & = -1 \\ f(\infty) & = -i \end{align}

Estos argumentos a $f$ están en el "círculo" que es el eje imaginario, y estos cuatro valores de $f$ se encuentran en otro círculo común. Ese círculo es el límite de la imagen de la mitad derecha del plano -. A continuación, necesitará averiguar a qué lado de la frontera es la imagen del interior de la mitad derecha del plano -. Es $0$ en la imagen, o es $\infty$ en esa imagen?

Answer 2

Aquí está un parcial mapa de una región en la mano derecha del avión.

Las tres curvas arcos en la parte inferior son los mapas de la parte superior, inferior y derecho de la mano de los límites. Creo que el mapa completo de la mano derecha avión sería algo parecido a lo que se llama Smith Gráfico en ingeniería eléctrica. Aunque hay normalmente mapa de la mitad superior del plano.

Desde la esfera de Riemann de asignación se menciona en Michael Hardy respuesta aquí es que el mapa. Si usted podría girar la esfera que iba a obtener una mejor idea de completar la asignación.

Answer 3

Vamos a echar un vistazo en el límite de la mitad derecha del plano -$D=\{z\mid \mathcal{Re}\ z>0\}$, que es el de la $OY$-eje que puede ser parametrizado por $t$ $$z=it, t\in\mathbb{R}$$ and let us investigate how the boundary is transformed under $f$:

$$f(it)=i\frac{1-it}{1+it}=\ldots=\underbrace{\frac{2t}{1+t^2}}_{u(t)}+i\underbrace{\frac{1-t^2}{1+t^2}}_{v(t)}=u(t)+iv(t)$$

Observe que $$|w|^2=|f(it)|^2=u^2(t)+v^2(t)=\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}+\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}=\ldots=1$$ Therefore the image of the boundary is a part of the unite circle $|w|=1$. However, it is easy to see that $1\le u(t)\le1$ and $1\le v(t)\le1$ if we accept that $t\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}$. Thus, under $z\stackrel{f}\w$ the boundary transforms into the unit circle $|w|=1$.

Desde la frontera se asigna en la frontera y el dominio $D$ va a ser dentro o fuera del círculo unidad. Para determinar esto, vamos a escoger un simple punto de prueba en $D$. Por ejemplo, $z=1+i0\in D$.

$$f(1+i0)=0. $$ Desde $f(1+i0)$ está dentro del círculo unidad, todo el semiplano debe asignarse en el interior de un mismo círculo, y llegamos a la conclusión de: $$f(D)=\{w\in\mathbb{C}:| w|<1\}.$$