¿Qué tipo de matemáticas puede ser formalizado en el primer orden de la lógica usando PA axiomas?

Question

Por favor alguien puede ayudarme a comprender la siguiente afirmación:

Todos concreto de las matemáticas de que el pasado puede ser llevado a cabo en Peano La aritmética.

Esto es de "Una Breve Introducción a Unprovability" por Andrey Bovykin.

Bovykin dice que los teoremas de $\mathsf{PA}$ captura de 'finito matemáticas', que es el mundo de los teoremas matemáticos que pueden ser formuladas en $\mathcal L = \{+, \times,< ,0,1\}$ y cuya prueba no requiere el uso de cualquier noción de infinito 'set' de una manera esencial.

Él dice: 'finito de matemáticas" incluye "todo lo imaginable matemáticas cuyos objetos pueden ser de alguna manera finitely aproxima o finitely codificado, incluyendo cotidiana "continuo " matemáticas".

Entiendo lo $\mathsf{ZFC}$ puede ser un marco para cotidianas de las matemáticas", pero no veo la manera de $\mathsf{PA}$ puede ser. Por ejemplo, ¿cómo puedo incluso el estado de la l.u.b. la propiedad de los reales usando $\mathsf{PA}$?

Answer 1

El punto es que uno puede usar un montón de codificación para reducir una gran cantidad de fantasía de las matemáticas, a la aritmética de Peano, y aún más débiles de las teorías. Pero para realmente hacer las cosas, puede que desee utilizar de segundo orden de la aritmética, o al menos un subsistema de la misma. Tener una mirada en el trabajo en el Reverso de las Matemáticas, donde estas cosas se estudian de forma sistemática.

En esencia, "finito de matemática discreta", tales como la teoría de números, teoría de grafos, básicos de la combinatoria, etc., la caña de ser reducido a PA porque finito de objetos discretos pueden ser codificados por los números. Infinito de objetos, tales como números reales, funciones continuas, distribuciones, etc., requieren de una fuerte teoría, y de segundo orden de la aritmética es suficiente para una gran cantidad de estos.