Los autovalores de a $A+v_1d^T$ donde $Av_1 = \lambda_1 v_1$ (cambio de primer autovalor)

Question

Tengo problemas para resolver el siguiente problema:

Deje $A\in \mathbf{R}^{n\times n}$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ son los autovalores de a$A$, e $A v_1=\lambda_1v_1$. Deje $d\in \mathbf{R}^n$, entonces los autovalores de a$A+v_1d^T$ se $\lambda_1+d^Tv_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_n$. Nota: $A$ puede no ser diagonalizable.

Sé que los siguientes hechos:

1. $v_1d^T$ es de rango $1$.
2. los autovalores de a$v_1d^T$ se $v_1^Td, 0,\ldots, 0$.

Pero todavía no tengo idea de demostrar este teorema. Por favor me ayude, gracias!

Answer 1

Dibujo: Uso de Jordania descomposición. WLOG, asumir \begin{align} A = UJU^{-1} \end{align} donde \begin{align} J = \begin{pmatrix} \lambda& 1 & 0 & \dots & \dots & 0\\ 0 & \lambda & 1 & 0 & \dots & \vdots\\ \vdots & 0 & \ddots & \ddots & \dots &\vdots\\ \vdots & \vdots & \ddots& \ddots & 1 & \vdots\\ \vdots & \dots& \dots & 0 & \lambda & 1\\ 0 & \dots & \dots & \dots & 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{align} Desde $Ue_1 = v_1$ , entonces podemos ver que \begin{align} A+v_1d^T =&\ U(J+U^{-1}v_1d^TU)U^{-1}\\ =&\ U(J+e_1(U^Td)^T)U^{-1}. \end{align} Tenga en cuenta que \begin{align} e_1(U^Td)^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1^Td & * &\dots & * \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1^Td & * &\dots & *\\ 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}. \end{align}