Pensé, ¿es esto realmente tan simple? ¿O me falta una pieza? Esta es mi prueba:$f(\{x\})=\{f(x)\}$.
Mirar $f(\{x\})$. Por definición,$f(\{x\})=\{f(a)|a \in \{x\}\}$, y por lo tanto$f(\{x\})=\{f(x)\}$.
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DanV
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La definición de una función es un conjunto de pares ordenados, de tal manera que si por alguna $x$ tenemos $\langle x,y\rangle,\langle x,z\rangle\in f$$y=z$.
Es decir, $f$ es una relación binaria y para cada $x$ hay más de un elemento tal que $\langle x,y\rangle\in f$. Llamamos a menudo dicen que los $y$$f(x)$.
Ahora, ¿qué es $f(A)$ al $A\subseteq\operatorname{Dom}(f)$? Es el conjunto de $\{f(x)\mid x\in A\}$. Deje $A=\{x\}$, $$f(\{x\}) = \Big\lbrace f(a)\mid a\in\{x\}\Big\rbrace$ $
Desde $a\in\{x\}\iff a=x$ tenemos que $f(\{x\}) = \{f(x)\}$ como quería.
Esto es básicamente la misma prueba como la suya, yo solo reescribió de manera más formal/nivel inferior.
Para demostrar que $f(\{x\})=\{f(x)\}$ debemos demostrar que: $$z\in f(\{x\}) \Leftrightarrow z\in \{f(x)\}.$$
Esto puede ser muestra de la siguiente manera:
$z\in f(\{x\})$ $\Leftrightarrow$ $(\exists a\in\{x\}) z=f(a)$ $\Leftrightarrow$ $z=f(x)$ $\Leftrightarrow$ $z\in\{f(x)\}$
(Usted puede ser que desee pensar un poco, ¿por qué las equivalencias escribí anteriormente son verdaderos, en caso de querer hacer una muy detallada de la prueba. Creo que la mayoría de los detalles se explican muy bien en el Asaf la respuesta.)
