Cómo Integrarla:

Question

Estoy trabajando en un par de momento la generación de problemas de la función, y me encontré con:

$f(x)=(x^2e^{-x})/2$ $x>0$ , y cero en caso contrario.

Encontrar la media. La media es igual al valor esperado. Si nos encontramos en el momento de generación de función, $M_x(t)$$f(x)$, entonces podemos tomar la primera derivada de la $M_x(t)$$t=0$. Esto nos dará la media.

Para encontrar el $M_x(t)$ tomamos $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$$

$$\int_{0}^{\infty}e^{tx}(x^2e^{-x})/2dx$$

Escribí esto como:

$$\frac12\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{x(t-1)}dx$$

Estoy un poco oxidado en la integración y que si alguien puede ayudar me apunte en la dirección correcta en cuanto a cómo hacer frente a este tipo que me sería de gran aprecio!

Answer 1

Integrar por partes dos veces: \begin{aligned} I & = \frac{1}{2}\int_0^\infty x^2e^{x(t-1)}dx = \\ & = \frac{1}{2}\left[x^2\frac{e^{x(t-1)}}{t-1}\right]^{x=\infty}_{x=0} - \frac{1}{2}\int_0^\infty 2x\frac{e^{x(t-1)}}{t-1}dx = \\ & = -\frac{1}{2}\left[2x\frac{e^{x(t-1)}}{(t-1)^2}\right]^{x=\infty}_{x=0} + \frac{1}{2}\int_0^\infty 2\frac{e^{x(t-1)}}{(t-1)^2}dx = \\ & = \frac{1}{2}\left[2\frac{e^{x(t-1)}}{(t-1)^3}\right]^{x=\infty}_{x=0} = \\ & = -\frac{1}{(t-1)^3} \end {alineado} Tenga en cuenta que$t<1$ es necesario para la convergencia.

Answer 2

Su integral es igual a$$\frac{\mathcal{L}(x^2)}{2} = \frac{1}{2}\frac{2}{-(t-1)^3} = \frac{-1}{(t-1)^3}.$ $

Answer 3

Deje$u=x(1-t)\;\Rightarrow\;du=(1-t)\ dx$, luego \begin{align} \frac12\int_{x=0}^\infty x^2e^{x(t-1)}\ dx&=\frac12\int_{u=0}^\infty\left(\frac u{1-t}\right)^2e^{-u}\cdot\frac{du}{1-t}\\ &=\frac1{2(1-t)^3}\int_{u=0}^\infty u^2e^{-u}\ du\\ &=\frac1{2(1-t)^3}\cdot\Gamma(3)\\ &=\frac1{2(1-t)^3}\cdot2!\\ &=\large\color{blue}{\frac1{(1-t)^3}}, \end {align} donde$t<1$ para la convergencia.

Answer 4

Dado

$$ M_x (t) = \ tfrac {1} {2} \ int_0 ^ \ infty e ^ {tx} x ^ 2 e ^ {- x} dx $$

Tenga en cuenta que

$$ M_x (t) = \ tfrac {1} {2} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ int_0 ^ \ infty e ^ {[t-1] x} dx; \ t \ le 1 $ PS

De dónde

$$ M_x (t) = \ tfrac {1} {2} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ left (\ frac {1} {1-t} \ right) = \ frac {1} { \ Big (1-t \ Big) ^ 3}; \ t \ le 1 $$