Mostrar que un equilibrio$x=0$ es asintóticamente estable

Question

Feliz Navidad a todos! Espero que todos hayan tenido un gran día:)

Actualmente estoy pegado en el siguiente problema, debido a la incapacidad para utilizar uno de una hipótesis clave dada. Aquí está el problema:

Dado el sistema de $\dot{x} = Ax + h(x)$ $R^{n}$ donde $A = n\times n$ matriz tal que todos los autovalores de a $A$ tienen parte real $< 0$, e $h : R^n\rightarrow R^n$ satisface $h(0) = 0$ $ \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{|h(x)|}{|x|} = 0$ (esta condición es equivalente a $h'(0) = 0$). Demostrar que el equilibrio $x = 0$ es asintóticamente estable.

Mi pregunta: no puedo ver cómo la condición de $h'(0) = 0$ entra en juego. Mi idea es utilizar la Variación de los Parámetros de la fórmula, sino que la fórmula no tiene nada que ver con $h'(0) = 0$. Puede alguien por favor me ayude con la prueba, o al menos un nuevo enfoque?

Answer 1

Tienes razón sobre el uso de la variación de los parámetros. La prueba es bastante elaborada y utiliza la desigualdad de Gronwall . Aquí hay un enlace a un PDF que contiene este resultado. Deberías estar mirando el teorema 15.3.

Descargo de responsabilidad: todo el crédito se debe al autor original de este artículo.