Demostrar que g es Lebesgue intergrable

Question

Sea $f$ sea Lebesgue integrable en $(0, 1)$ . Para $0 < x < 1$ dene g(x) = $\int_x^1t^{-1}f(t)dt$

Demostrar que $g$ es Lebesgue integrable en $(0, 1)$ .

$\int^1_0g(x)dx=\int^1_0f(x)dx.$

No tengo ni idea de por dónde empezar. He intentado suponer f(x) como función característica y luego como función simple y aproximar f(x) mediante la función simple. No creo que esta sea la idea correcta. Alguien me puede dar alguna pista de como empezar.

Answer 1

Bien, permítanme darles la versión completa de la solución Fubini insinuada en los comentarios:

Por el teorema de Fubini-Tonelli (para funciones medibles no negativas también aplicable sin supuestos de integrabilidad) $$ \begin{align} & \phantom{=}\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}t^{-1}\left|f\left(t\right)\right|\, dt\, dx \\ & \overset{\left(\ast\right)}{=}\int_{0}^{1}\int_{0}^{t}t^{-1}\left|f\left(t\right)\right|\, dx\, dt\\&=\int_{0}^{1}t^{-1}\left|f\left(t\right)\right|\cdot\int_{0}^{t} 1\, dx\, dt\\&=\int_{0}^{1}\left|f\left(t\right)\right|\, dt<\infty. \end{align} $$ Aquí, el paso marcado con $\left(\ast\right)$ utilizó la equivalencia $t\geq x\,\Leftrightarrow\, x\leq t$ podría ser más preciso utilizando $$ \int_{0}^{1}\int_{x}^{1}h\left(t\right)\, dt\, dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\chi_{\left\{ \left(a,b\right) \mid 0\leq a\leq b\leq1\right\} }\left(x,t\right)\cdot h\left(t\right)\, dt\, dx, $$ donde $\chi_M$ es la función característica de $M$ .

Como la integral anterior (con los valores absolutos) es finita, se puede aplicar Fubini de la misma manera sin el valor absoluto en torno a $f$ para concluir la prueba.