¿Puede una función periódica satisfacer$f''(x)f(x)>0, x\in \mathbb{R}$?
Mi intuición dice que no. ¿Alguna idea sobre cómo abordar esto?
Respuesta
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Voy a tratar de demostrar que los $\forall x\in\Bbb R(f''(x)f(x)>0) \implies f$ no es periódica.
De $f''(x)f(x)>0$ podemos ver que ni la $f$ ni $f''$ $0$ en cualquier punto. Debido a $f$ es diferenciable, es continua, y por lo que nunca puede pasar $0$ y por lo tanto debe ser positiva en todas partes o negativo en todas partes. $f''$ debe tener el mismo signo de $f$ en todas partes.
Sin pérdida de generalidad, supongamos que $f''$ $f$ siempre son positivos. Así, debido a que $f''$ es siempre positivo, $f'$ es estrictamente creciente. Si $f'$ es siempre negativo, $f$ es estrictamente decreciente y $f(x)=f(x+p)$ no puede sostener. Si $f'$ es siempre positivo, $f$ es estrictamente creciente y $f(x)=f(x+p)$ no puede sostener. Si $f'$ pasa $0$, $f$ tiene exactamente un mínimo en algunos $x_0$, e $f(x_0)=f(x_0+p)$ no puede sostener. Por lo $f$ no puede ser periódico.
