Extienda una función continua en$(0,\infty)$ a una función en$[0,\infty)$

Question

Cuál de las siguientes dadas las funciones $f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb R$ puede ser ampliado para convertirse en una función continua en a $[0,\infty)$?

1. $\sin{1\over x}$
2. ${1-\cos x}\over x^2$
3. $\cos {1\over x}$
4. $1\over x$

Así , la extensión continua requeriría $$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0).$$

Ahora , entre todos ellos, sólo la opción de $2$ es un límite al acercarse $0$ por L'Hospital de la Regla.(se $0\over 0$ formulario) y ese límite es $1\over 2$.Así,la definición de $f(0)={1\over 2}$, esto se puede extender continuamente en $[0,\infty)$. Los demás no toman límite de $x$ tiende a $0.$ opción $2$ es una respuesta correcta.

Eso es correcto,si $?$ Como estoy seguro acerca de $1\over x$ $\sin {1\over x}$ no teniendo límite en $x\rightarrow 0$ , no estoy seguro acerca de la función de $\cos {1\over x}.$ Así que por eso es esta pregunta.

Answer 1

Podemos demostrar que $$ \lim_{x \to 0^+} \cos\frac{1}{x} $$ no existe contradicción.

Vamos a: $$ \lim_{x \to 0^+} \cos\frac{1}{x}=l $$ eligió $\epsilon =\frac{1}{2}$, por la definición de límite, tenemos:

$$ \left|\cos\frac{1}{x}-l \right|< \frac{1}{2} \quad si \quad 0<x<\delta \quad \text{para algunas de} \quad \delta >0 $$

Ahora podemos siempre encontrar un entero $n$ tal que $$ x'=\frac{1}{2n\pi}<\delta \quad \text{y} \quad x"=\frac{1}{2(n+1)\pi}<\delta $$ y por $n$ tenemos: $$ \cos\frac{1}{x'}=1 \quad \text{y} \quad \cos\frac{1}{x"}=-1 $$esto implica que: $$ |-1-l|<\frac{1}{2} \quad \text{y} \quad |1-l|<\frac{1}{2} $$ es decir, $$ |l+1|<\frac{1}{2}\quad \text{y} \quad |l-1|<\frac{1}{2} $$ y esto implica $|1-(-1)|<1$: contadiction!

Por lo que la discontinuidad en $x=0$ no es extraíble y está a la derecha también para la pregunta (3).

Answer 2

$\frac{\cos x-1}{x^{2}}$ se puede extender a una función continua en$\mathcal{R}$ porque tiene un límite en$0$, es decir,$- \frac{1}{2}$.