Encontrar raíces de polinomios de grado $\ge 5$

Question

Durante nuestra investigación se nos planteó el problema de calcular la raíz de un polinomio de grado $\ge 5$ exactamente. Los coeficientes son, salvo el término lineal y la constante, todos no negativos y sólo hay términos de grado par. Lo único que sabemos es que hay fórmulas para un grado hasta 4 y ninguna fórmula para un grado superior, pero ¿es posible calcular también exactamente las raíces de un polinomio de grado superior? Si es así, ¿cuál es la complejidad?

Aquí tiene más información:

La ecuación es la siguiente $A(n) - x - a_0 = 0$ para una integral arbitraria $n$ . De este modo, $A(0)=x$ y $A(i) = a_i \cdot A(i-1) \cdot (A(i-1)+b_i) $ para $i \in \{1,\ldots,n\}$ . Todos los valores $a_i,b_i$ son números reales no negativos para $i \in \{1,\ldots,n\}$ mientras que $a_0$ es arbitraria.

Answer 1

Si todos los términos tienen grado par, tenemos un polinomio en $x^2$ . Escrito así, tienes un polinomio de la mitad del grado. Esto resuelve tu problema si el grado original es $8$ o menos. En caso contrario, algunos polinomios de grado superior pueden factorizarse, dando raíces exactas. El teorema de la raíz racional puede ser tu amigo. Si no es así, no tienes suerte.

Answer 2

¿Exactamente? Depende del polinomio. Tenga en cuenta que para un polinomio de grado par, la sustitución $y = x^2$ reduce a la mitad el grado del polinomio, por lo que, por ejemplo, si el polinomio es de grado seis u ocho, puedes encontrar sus raíces de forma cerrada.

De lo contrario, la única esperanza de obtener raíces exactas (cuando los coeficientes son racionales) es que el polinomio tenga alguna forma especial, o factores. Los factores lineales pueden extraerse fácilmente mediante la prueba de la raíz racional. Estoy seguro de que existen algoritmos más sofisticados que pueden utilizarse para intentar extraer factores de mayor grado.

Por último, si sólo necesita las raíces de forma aproximada, repetiré mi recomendación habitual del algoritmo Jenkins-Traub: el mejor algoritmo numérico, según mi experiencia, para encontrar todas las raíces de un polinomio con un alto grado de eficacia y precisión.