Encuentra el valor

Question

Deje que$a,b.c$ sean números reales tales que $$ \begin{cases}a^2+ab+b^2=9\\ b^2+bc+c^2=52\\ c^2+ca+a^2=49 \end {cases} $$

muestra que$$\dfrac{49b^2+39bc+9c^2}{a^2}=52$ $

He encontrado esta solución problema por métodos de geomtry. solución 1 , ¿alguien puede tener métodos de álgebra?

Answer 1

Insinuación:

$$ \begin{cases}a^2+ab+b^2=x\\ b^2+bc+c^2=y\\ c^2+ca+a^2=z \end {cases} $$

Entonces $$ \begin{cases} (a-c)(a+b+c) = x-y\\ (b-a)(a+b+c) = y-z\\ (c-b)(a+b+c) = z-x\\ \end {cases} $$

Deje$(a+b+c)^{-1}=k$, entonces

$$ \begin{cases} (a-c) = (x-y)k\\ (b-a) = (y-z)k\\ (c-b) = (z-x)k\\ \end {cases} $$