Integral impropia utilizando la teoría de los residuos.

Question

Quiero evaluar la integral impropia $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{1/4}}{1+x^3}\, dx$ a través de residuo teorema pero algo extraño está sucediendo.

Cuando puedo usar el key-hole contorno donde puedo integrar por encima/por debajo de la postive eje real, me acaban de conseguir que la real y la parte imaginaria de la integral es $-\int\limits_{0}^{\infty}\frac{t^{1/4}}{1+t^3}dt + \int\limits_{0}^{\infty}\frac{t^{1/4}}{1+t^3}dt*i $

Cuando me calcular el contorno a través de los residuos obtengo respuestas que no sólo no coinciden con el cálculo numérico, pero me, pero tienen diferentes imaginarios y reales escalador de valores.

El 3 raíces de $1+z^3$ $-1, 1/2+\frac{\sqrt{3}}{2i}, 1/2-\frac{\sqrt{3}}{2}*i $

De los residuos y los valores calculados en cada uno son:

para $-1$, $\frac{\sqrt{2}}{6}(1+i)$

para $1/2 + \sqrt(3)/2i$, $\frac{-(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{12} - \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{12}i$

para $1/2 - \sqrt(3)/2i$, $\frac{-(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{12} + \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{12}i$

Ahora, claramente, la suma de estos multiplicado por $2\pi*i$ no tienen partes reales e imaginarias que son escarificador múltiplos de cada uno de los otros.

¿Qué hice mal?

Answer 1

Solo como observación, este tipo de integrales se pueden evaluar en términos de la función Beta de Euler:

PS

use ahora la sustitución$$I=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{1/4}}{1+x^3}dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{y^{7/12}(1+y)}dy, $ y la identidad$\frac{1}{1+y}=1-z$ para tener:

PS

pero desde$\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)$ tenemos:

PS

El resultado sugiere que, en el cálculo de$$ I = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} z^{-7/12}(1-x)^{-5/12} dz = \frac{\Gamma(5/12)\,\Gamma(7/12)}{3}, $ a través de residuos, debe considerar el comportamiento del integrando en la vecindad de cualquier duodécima raíz de unidad.