¿Qué estructura de grupo de Lie se usa para grupos unitarios de dimensión infinita en la mecánica cuántica?

Question

Dado un infinito-dimensional espacio de Hilbert $H$, la $U(H)$ de todos los operadores unitarios en $H$ forma un grupo, conocido como el grupo unitario. Ahora varios subgrupos de este grupo juega un papel importante en la mecánica cuántica, por ejemplo, el grupo de tiempo de traducción de los operadores y el grupo de traducción espacial de los operadores. Y estos subgrupos son tratados como Mentira grupos, que supongo que significa que $U(H)$ también es una Mentira grupo. Así que mi pregunta es, ¿cuál es la estructura de variedad diferenciable en a$U(H)$ se utiliza en la mecánica cuántica?

Y ¿qué es la topología que se utiliza en la mecánica cuántica para este grupo? Es el uniforme (norma), la topología, o la fuerte operador de topología, o qué?

EDIT: Suponiendo que el fuerte del operador de la topología es la más adecuada para la mecánica cuántica, en la segunda página de este documento menciona "la Frechet Mentira grupo $U(H)$ que consta de todos los operadores unitarios en H, equipado con el fuerte operador topología". Eso significa que $U(H)$ tiene un Frechet colector de estructura, es decir, es localmente isomorfo a un infinito-dimensional Frechet espacio. (En contraposición a un corriente de colector que es localmente isomorfo a un número finito-dimensional en el espacio Euclidiano.) Pero lo que Frechet colector de estructura?

Answer 1

$U(H)$ está conectado y continua de la ruta conectado topológico grupo con respecto a la fuerte operador de la topología, que es la más natural para las aplicaciones físicas. Esta topología permite ampliar algunas de las características de la Mentira de los grupos para el caso de un "infinito-dimensional de" grupo donde la estructura diferenciable no es fácil de definir (hay diferentes puntos de vista y no todas las propiedades de la norma finito-dimensional suave colectores puede ser extendida).

Mentira grupos tienen la propiedad de que son casi completamente definida por su Mentira álgebra (es cierto para simplemente conectado Mentira grupos, de lo contrario, esta propiedad es válida en un barrio de el elemento neutro).

En particular, si el grupo está conectado, cada elemento se obtiene como producto de los elementos que pertenecen a un parámetro subgrupo generado por los vectores en la Mentira de álgebra.

Esto también sucede para $U(H)$ en vista de Piedra teorema (que también utiliza el fuerte operador de la topología), incluso si no diferenciable de la estructura es elegido por encima de $U(H)$. Desde un punto de vista abstracto, podemos pensar en selfadjoint operadores, como los elementos de la Mentira álgebra de $U(H)$. A partir de la teoría espectral de la normal de operadores y funcional de cálculo, cada operador unitario $U$ puede ser escrito como $e^{itA}$ para algunos selfadjoint operador $A$ y algunos de los verdaderos $t$.

Una definición global de un general de la Mentira de álgebra para $U(H)$ es difícil, ya que selfadjoint operadores son ilimitados y tienen diferentes dominios, por lo que $[A,B]$ es generalmente indefinido.