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Question

Estoy tratando de encontrar el siguiente límite: \begin{align} \lim_{ n \to \infty} \frac{e^{-n}}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^\infty \frac{\sqrt{k+ n }}{k!} (n+a)^k \end {align} para un determinado $a>0$ .

Cosas que cansaban. Podemos llegar con el siguiente límite: \begin{align} \lim_{ n \to \infty} \frac{e^{-n}}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^\infty \frac{\sqrt{k+ n }}{k!} (n+a)^k \le \lim_{ n \to \infty} \frac{e^{-n}}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{\sqrt{k }}{k!} (n+a)^k + \frac{\sqrt{ n }}{k!} (n+a)^k\right)\\ \le \lim_{ n \to \infty} \frac{e^{-n}}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^\infty \frac{\sqrt{k }}{k!} (n+a)^k + e^{a} \end {align}

Answer 1

La definición de $p(k, \lambda) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$, luego \begin{align*} f(k, n) = \sqrt{1 + \frac{k}{n}}e^a \frac{(n+a)^k}{k!}e^{-(n+a)} = \sqrt{1 + \frac{k}{n}}e^ap(k, n+a) \end{align*} Por lo que la suma es equivalente a, para una variable aleatoria $X \sim \text{Pois}(n+a)$, \begin{align*} e^{a}\mathbb{E}\left[\sqrt{1 + \frac{X}{n}}\right] \end{align*} Desde $X/n \rightarrow 1$ casi seguramente por el Fuerte de la Ley de los Grandes Números y $\mathbb{E}[\frac{X}{n}] = 1 + \frac{a}{n} \le 1 + a < \infty$, dominado convergencia nos permite intercambiar $\mathbb{E}$ e $\lim$, y así \begin{align*} \lim_{n\rightarrow \infty} e^{a}\mathbb{E}\left[\sqrt{1 + \frac{X}{n}}\right] = e^{a}\mathbb{E}\left[\sqrt{1 + \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{X}{n}}\right] = e^{a} \sqrt{2} \end{align*}