¿El mismo complejo de cadenas de CW implica homotópico?

Question

Es cierto que si dos espacios X,Y tienen el mismo CW complejo de cadena es decir ${C^{CW}(X)}_n={C^{CW}(Y)}_n$ y también el mismo diferencial de los mapas de $d_n$ en cada etapa, a continuación, $X \simeq Y$ ?

Si el CW complejos de la cadena de partido, fácilmente se deduce que la homología de grupos son los mismos. El CW complejos de la cadena están relacionados con el número de cada celda se le fije y las diferencias también son obtenidos mediante la fijación de los mapas. Así que es cierto?

Answer 1

Deje $X= S^2 \vee S^1 \vee S^1$. A continuación, $X$ e $T^2$ tienen la misma cadena de grupos (si se le da al toro el esqueleto con el 1 0 de células, 2 1-células, y 1 de 2 células). Claramente los límites de los mapas de la primera cadena del grupo para el cero de la cadena de grupo son los mismos. El mapa de límite a partir de la segunda cadena del grupo a de la primera es trivial en $X$, obviamente, y trivial en $T_2$ porque se adjunta el 2-celda con el colector que termina siendo trivial cuando nos colapso de uno de los círculos, ya que uno de los generadores está desapareciendo.

Este es un clásico ejemplo de que la homología y la cohomology no son suficientes para distinguir a los espacios, pero con la copa del producto puede. Debo decir, $X$ e $T_2$ no homotopy equivalentes porque tienen diferentes $\pi_2$.