Pruébalo: $\int_{a}^{b} f(x) dx = b \cdot f(b) - a \cdot f(a) - \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx$

Question

Sólo quería preguntar, si mi prueba es correcta. No he visto la ecuación antes, pero creo que es bastante útil.

Dejemos que $f$ sea una función biyectiva diferenciable. Entonces la función inversa $f^{-1}$ existe y se cumple la siguiente ecuación:

$$\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = b \cdot f(b) - a \cdot f(a) - \int\limits_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx$$

Prueba.

$f$ es una función biyectiva diferenciable y $F$ es una antiderivada de $f$ .

Primero tenemos que encontrar una antiderivada de $f^{-1}$ .

$\int f^{-1}(x) dx$ con sustitución $x = f(y)$ rendimientos:

$$\int y \cdot f'(y) dy = y \cdot f(y) - \int f(y) dy = y \cdot f(y) - F(y)$$

rendimientos de la resustitución:

$$\int f^{-1}(x) dx = x \cdot f^{-1}(x) - F(f^{-1}(x))$$ por lo que $\int\limits_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = \left[x \cdot f^{-1}(x) - F(f^{-1}(x)) \right ]_{f(a)}^{f(b)}$

$$=b \cdot f(b) - F(b) - (a \cdot f(a) - F(a)) = F(a) - F(b) + b \cdot f(b) - a \cdot f(a)$$ $$= \int\limits_{b}^{a} f(x) dx + b \cdot f(b) - a \cdot f(a) = -\int\limits_{a}^{b} f(x) dx + b \cdot f(b) - a \cdot f(a)$$

En definitiva:

$$\int\limits_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = -\int\limits_{a}^{b} f(x) dx + b \cdot f(b) - a \cdot f(a)$$

que es igual a

$$\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = b \cdot f(b) - a \cdot f(a) - \int\limits_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx$$

q.e.d.

Answer 1

Observa el área representada por las integrales. Para simplificar, tomemos el caso $0 < a < b$ y $0 < f(a) < f(b)$ . La primera integral representa el área bajo la curva, por encima de la $x$ -eje, entre $x=a$ y $x=b$ . La segunda integral representa el área a la izquierda de la curva, a la derecha de la $y$ -eje, entre $y=f(a)$ y $y=f(b)$ . Cuando se combinan dan la región que podría describirse como el rectángulo con la anchura $b$ y la altura $f(b)$ menos el rectángulo de anchura $a$ y la altura $f(a)$ , ambos en el primer cuadrante con un vértice en el origen.

Answer 2

No hacemos uso de la integración por partes ni asumimos que $f$ es diferenciable para derivar esta fórmula. Sólo asumimos $f$ sea continua y biyectiva. Por lo tanto, $f$ es creciente o decreciente.

Recordamos que $$ \left|\int_a^bh(x)dx\right|$$ representan el área cubierta por el entre el $x$ -y la curva de $h$ representado en el intervalo $[a,b]$

• Primer caso: $f$ es una función creciente
• Segundo caso $f$ es una función decreciente

Ahora, si consideramos el caso en que la función es decreciente entonces, un dibujo se ve como la imagen de abajo.

Se observa que, a diferencia del primer caso, las áreas formadas por $f$ y $f^{-1}$ interceptar en $\color{red}{\mathcal{A}}$ Aquí se evalúa el área $\color{red}{\mathcal{A}}$ de dos maneras diferentes como sigue

1. Teniendo en cuenta el rectángulo $aQRb$ nos encontramos con que, $$\color{red}{\mathcal{A}} = \int_{a}^{b} f(x) dx - f(b)(b-a)$$
2. Teniendo en cuenta el rectángulo $f(b)QPf(a)$ nos encontramos con que, $$\color{red}{\mathcal{A}} = \int_{f(b)}^{f(a)} f^{-1}(x) dx - a(f(a)-f(b))$$ Finalmente, igualando ambas fórmulas llegamos a

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx - f(b)(b-a) = \int_{f(b)}^{f(a)} f^{-1}(x) dx - a(f(a)-f(b)) $$ es decir $$ \color{red}{\int_{a}^{b} f(x) dx +\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = bf(b) - af(a).}$$

Answer 3

Debería ser casi obvio que la identidad en cuestión es una consecuencia inmediata de la fórmula de "integración por partes". Utilizando la integración por partes tenemos $$\int_{a} ^{b} f(x) \, dx=bf(b) - af(a) - \int_{a} ^{b} xf'(x) \, dx\tag{1}$$ y luego ponemos $f(x) =t,x=f^{-1}(t)$ en la integral de la derecha para obtener $$\int_{a}^{b}xf'(x)\,dx=\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(t)\,dt\tag{2}$$ Nuestra fórmula se desprende de $(1)$ y $(2)$ . La prueba también puede realizarse mediante la integral de Riemann-Stieltjes. Esto tiene la ventaja de que evita la derivada $f'(x) $ y establece la identidad bajo condiciones mucho más débiles en $f$ (es decir, que $f$ debe ser estrictamente monótona en $[a, b] $ ).

---

La identidad en cuestión tiene una bonita interpretación geométrica (ver otras respuestas aquí) que ayuda a convencernos de la verdad de la identidad, pero no constituye una prueba (del mismo modo que los argumentos geométricos no pueden utilizarse para demostrar el teorema del valor medio o el teorema del valor intermedio).