Mi libro de texto dice que si $b$ no es un número primo, entonces puede expresarse como un producto de números primos. Pero, si $1$ no es primo, ¿cómo puede expresarse como un producto de números primos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
¿Cuál es la suma de n números? Cero, por supuesto, ya que es la identidad aditiva: $x + 0 = 0$, donde $x \neq 0$, o incluso si es.
Ahora, ¿cuál es el producto de n números? No puede ser cero, ya que, manteniendo la condición de que $x \neq 0$, tenemos $x \times 0 = 0$, y le dijo $x \neq 0$. La identidad multiplicativa es $1$, desde el $x \times 1 = 1$.
Por lo tanto, el producto de no primos en todas las es $1$. El teorema fundamental de la aritmética es una sutileza que es innecesario para contestar la pregunta.
rlpowell
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Esto es principalmente sólo un comentario extendido sobre Pedro, el Capataz de la respuesta. El (relativamente difícil) singularidad aspecto del Teorema Fundamental de la Aritmética no es necesario para el OP pregunta, sólo el (más fácil) existencia de aspecto.
¿Qué falta en el OP del libro de texto es la clasificación correcta en la afirmación de que cada número primo mayor que $1$ se puede expresar como un producto de números primos. Esto es la existencia de aspecto de los TLC, y puede ser demostrado por la fuerte inducción: Si $n\gt1$ no es un número primo, entonces $n=ab$ para ciertos pares de números enteros con $1\lt a,b$. Ambos $a$ e $b$ debe ser menor que $n$ (de lo contrario su producto sería más de $n$), por lo que podemos suponer, por la fuerte inducción, que cada uno de ellos se puede escribir como un producto de números primos, por lo tanto, de modo que su producto, que es $n$.
Comentario: "Fuerte" inducción significa que usted no acaba de asumir una afirmación es verdadera para $n-1$ y luego probarlo para $n$, asumir que es verdadera para todos los enteros positivos $k\lt n$. En este caso la afirmación es "si $k\gt1$ e $k$ no es primo, entonces $k$ se puede escribir como un producto de números primos." Tenga en cuenta que el caso base, $k=1$, es vacuously cierto, porque $1$ no es mayor que $1$.
Evan Trimboli
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Vacío de un producto es todavía un producto.
Lulu comentario es suficiente para responder a lo que usted pidió. Aunque aún no ha estado ningún tipo de restricciones en $b$, entiendo que tu pregunta específicamente sobre el caso de $b = 1$. Y eso es perfectamente dirigida solo por el concepto de vacío producto solo.
Pero entonces ¿por qué está todo el mundo hablando sobre el teorema fundamental de la aritmética? Su uso excesivo es parte de la razón.
Pero también porque es una especie de la implícita en la idea de $b$ siendo el producto de números primos. Para, después de todo, si un número de dominio no tiene factorización única, entonces es probable que tenga los números que son divisibles por irreductible, no de los números primos, pero no por cualquier de los números primos.
Sin embargo, incluso si estamos hablando sólo de $\mathbb Z$, creo que todavía es más productivo (juego de palabras la intención) para decir los números en un único dominio de factorización son divisibles por unidades y de los números primos: las unidades pueden variar en infinidad de formas, pero los números primos sólo puede variar en lo que respecta a la orden.
Y así no somos los menos poco desconcertado acerca de el número 1, ya que es un producto de unidades de varias maneras diferentes (por ejemplo, $(-1)^2 =$ $ (-1)^4 \times 1 = $ $\ldots$) y el vacío de un producto de números primos.
Ni estamos desconcertados por los números negativos, incluso si nos obstinadamente se niegan a la sensata idea de que los números negativos se pueden prime. Por ejemplo, $-14 = (-1) \times 2 \times 7$.
Y $-1$ es el producto de la unidad de $-1$ y el vacío de un producto de números primos, que es, por supuesto, 1.
Esto sólo deja fuera el caso muy especial de 0.
