La adición de funciones continuas sobre espacios topológicos es continua.

Question

Sólo quería comprobar si la siguiente prueba de que funciona: Supongamos $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ $g:X\rightarrow \mathbb{R}$ son continuas.

Quiere demostrar que: $h=f+g$ es continua.

Vamos a probar la declaración usando el localizado definición de continuidad: https://www.emathzone.com/tutorials/general-topology/continuity-in-topological-spaces.html

Deje $x\in X$ e $U$ está abierto en $\mathbb{R}$ s.t $h(x)\in U$. Por lo tanto, $\exists \epsilon>0$ s.t $(h(x)-\epsilon,h(x)+\epsilon)\subset U$.

Desde $f$ e $g$ son continuas en a$x$ y $$f(x)\in B(f(x),\epsilon/2)$$ and $$g(x)\in B(g(x),\epsilon/2)$$ which are open sets in $\mathbb{R}$, this implies the $\existe V_1, V_2$ open in $X$ s.t $x\in V_1\cap V_2$ and $$f(V_1)\subset B(f(x),\epsilon/2) $$ y $$g(V_2)\subset B(g(x),\epsilon/2)$$

Por lo tanto, $\forall z\in V_1\cap V_2$ $$|h(z)-h(x)|\leq|f(z)-f(x)|+|g(x)-g(z)|< \epsilon$$ yo.e $h(V_1\cap V_2)\subset(h(x)-\epsilon,h(x)+\epsilon)\subset U$.

Desde $V_1\cap V_2$ está abierto en $X$ e $x\in V_1\cap V_2$, esto implica $h$ es continua en a$x$.

Answer 1

Una alternativa a prueba, si usted sabe que $p: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido por $p(x,y)=x+y$ es continua ya:

Definir $f \nabla g: X \to \mathbb R \times \mathbb R$ por $(f\nabla g)(x)=(f(x), g(x))$ y tenga en cuenta que $f \nabla g$ es continua como $\pi_1 \circ (f \nabla g) = f$ e $\pi_2 \circ (f \nabla g) = g$ son continuos y $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ lleva el producto de la topología.

A continuación, $f+g=h=p\circ (f \nabla g)$ es continuo como el continuo de la composición del continuo de los mapas.

Pero su pointwise prueba está bien también.