Deje $M$ ser $R$ módulo de e $N_1 \subset N_2$ ser submódulos de $M$ tal que $M / N_1 \cong M / N_2$. Puedo saber a la conclusión de $N_1 \cong N_2$ o, incluso, $N_1 = N_2$? Sé que un adecuado submódulo puede ser isomorfo al módulo original (sé que algunos ejemplos al considerar vectorspaces) que es por eso que estoy casi seguro de que $N_1 \neq N_2$ en el caso general, sino $N_1 \cong N_2$ parece lo suficientemente intuitiva.
Agradecería cualquier ayuda, ya que soy relativamente nuevo para los módulos.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Buena pregunta. No, esto no es cierto en general, incluso si $R$ es un campo.
Decir que el anillo es un campo, y deje $V$ ser un espacio vectorial sobre él, con innumerables dimensión. Podemos elegir dos subespacios $W_f$ e $W_\infty$ finito, respectivamente contables, de dimensión. A continuación, los coeficientes de ambos tienen la misma dimensión como $V$ y por lo tanto ser isomorfo a cada uno de los otros (estamos usando el axioma de elección), pero los subespacios son no isomorfos a cada uno de los otros.
Lord Shark the Unknown
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Deje $R$ ser un trivial (necesariamente no conmutativa) anillo con la propiedad de que $R\cong R\oplus R$ como $R$-módulo. (Este es el caso de la si $R$ es el endomorfismo anillo de un infinito-dimensional espacio vectorial.) A continuación, $R$ tiene una adecuada submódulo $N$ con $N\cong R$ e $R/N \cong R$ as $R$-modules. Take $M=R$, $N_1=0$ and $N_2=$N. Claramente $N_1\not\cong N_2$.
