Álgebra lineal / teoría de la representación: se necesita un ejemplo

Question

Yo soy de la lectura Lineal de representaciones de grupos finitos por Serre, el siguiente tiene sentido, pero puedo ver esto con un ejemplo concreto ya que no puedo pensar en uno?

Deje $\rho$ e $\rho\,'$ dos representaciones de un mismo grupo $G$ en espacios vectoriales $V$ e $V\,'$. Estas representaciones se dice que son isomorfos si no sale lineal homomorphism $\kappa\colon V \rightarrow V\,'$ que "convierte" $\rho$ a $\rho\,'$, si la siguiente igualdad tiene $$ \kappa \circ \rho(s) = \rho(s)\,'\circ \kappa \quad \forall s \en G.$$

Si $\rho$ e $\rho\,'$ se dan en la forma de la matriz por $\Gamma_s$ e $\Gamma_s'$, esto implica, existe una matriz invertible $K$ tales que la siguiente se tiene: $$ \Gamma_s = K^{-1} \cdot \Gamma_s' \cdot K \quad \forall s \en G. $$

Answer 1

Tomar dos representaciones del grupo cíclico de orden dos $C_2=\langle c\mid c^2=1\rangle$ en $\mathbb{R}^2$ dada por $$ \rho(c)=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix} $$ y $$ \rho'(c)=\begin{pmatrix}\frac{3}{5}&-\frac{4}{5}\\-\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\end{pmatrix}. $$ El mapa de $\kappa:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ es el mapa $$ \kappa\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\;\;\;\mbox{y}\;\;\;\kappa\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}. $$ Geométricamente, $\rho$ representa a $c$ como una reflexión sobre la $y$-eje y $\rho'$ representa a $c$ como un reflejo más de la línea de $y=2x$.

Answer 2

Deje el campo base se $\mathbb{C}$, y deje $V=V'=\mathbb{V}_2(\mathbb{C})$.

Deje $G=\mathbb{Z}_3=\langle d \rangle$.

En términos de la matriz de dejar $$ \rho:d\mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1\\-1 & -1\end{pmatrix} $$ y $$ \rho' :d\mapsto \begin{pmatrix}\omega & 0\\ 0 & \omega^2 \end{pmatrix} $$ donde $\omega$ es la raíz cúbica de la unidad.

Usted puede encontrar la matriz de $\kappa$ por ti mismo, es la costumbre de la matriz de vectores propios.