Encuentre $\limsup _{n\to\infty} \bigl(\frac{2\cdot5\cdot8\cdot\cdots\cdot(3n-4)}{3^nn!}\bigr)^{1/n}$

Question

Encuentre $\limsup_{n\to\infty}(\frac{2\cdot5\cdot8\cdot\cdots\cdot(3n-4)}{3^nn!})^{1/n}$

He probado a multiplicar el nominador y el denominador por lo que falta para que haya $3n!$ en el nominador, pero eso me llevó a un lío algebraico.

También he intentado ver si podemos extraer algo como $const^n$ de $2\cdot5\cdot8\cdot\cdots\cdot(3n-4)$ y no salió nada más que una vista muy delgada de $2^{n/2}$ (creo) que no sé cómo utilizar.

Creo que se supone que debemos utilizar la fórmula Stirling en alguna parte del ejercicio.

Gracias.

Answer 1

Sea la secuencia en cuestión $a_n$ y $b_n=a_n^n$ . Entonces $$\frac {b_{n+1}}{b_n}=\frac{3n-1}{3(n+1)}$$ que tiende a $1$ . Así, $a_n=\sqrt[n] {b_n} $ también tiende a $1$ .

Answer 2

Considere en primer lugar que $$\prod_{i=2}^n (3i-4)=-\frac{3^n \,\Gamma \left(n-\frac{1}{3}\right)}{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right)}$$ entonces $$\frac{\prod_{i=2}^n (3i-4)} {3^n \, n! }=-\frac{\Gamma \left(n-\frac{1}{3}\right)}{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right) n!}$$ Tomar logaritmos y utilizar las aproximaciones de Stirling así como las series de Taylor para obtener $$\log\left(\frac{\prod_{i=2}^n (3i-4)} {3^n \, n! } \right)=-\frac{4}{3} \log \left({n}\right)-\log \left(-{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right)}\right)+\frac{2}{9 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ Dividir por $n$ y demostrar que el límite es justo $0$ . Así, para toda la expresión, el límite es $1$ .

Answer 3

Apretar también puede dar el límite con bastante rapidez.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que

• $\bigl(\frac{2\cdot5\cdot8\cdot\cdots\cdot(3n-4)}{3^nn!}\bigr)^{1/n} = \frac{1}{3}\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{3k-1}{k}\right)^{\frac{1}{n}}\cdot \underbrace{\frac{1}{\sqrt[n]{3n-1}}}_{\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1}$

Ahora tienes

$$\frac{1}{3}\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{3k-1}{k}\right)^{\frac{1}{n}} < \frac{1}{3}\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{3k}{k}\right)^{\frac{1}{n}} = 1$$

$$\frac{1}{3}\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{3k-1}{k}\right)^{\frac{1}{n}} > \frac{1}{3}\left(\prod_{k=2}^n\frac{3k-3}{k}\right)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{3}}\left(\prod_{k=2}^n\frac{k-1}{k}\right)^{\frac{1}{n}}= \frac{1}{\sqrt[n]{3n}}\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow}1$$

Ambos dan un límite de $1$ .

Answer 4

Una aplicación de La desigualdad de Bernoulli rinde $$ \begin{align} \frac{2\cdot5\cdot8\cdot\cdots\cdot(3n-4)}{3^nn!} &=\frac13\prod_{k=2}^n\frac{3k-4}{3k}\\ &=\frac19\prod_{k=3}^n\frac{k-\frac43}{k}\\ &\ge\frac19\prod_{k=3}^n\left(\frac{k-2}{k}\right)^{2/3}\\[3pt] &=\frac19\left(\frac2{(n-1)n}\right)^{2/3}\tag1 \end{align} $$ Aplicar $\lim\limits_{n\to\infty}n^{1/n}=1$ para obtener el límite final. Esto se deduce del Teorema del Binomio: $$ \begin{align} \left(1+\sqrt{\frac2n}\right)^n &\ge1+n\sqrt{\frac2n}+\frac{n(n-1)}2\frac2n\\ &=n+\sqrt{2n}\\[6pt] &\ge n\tag2 \end{align} $$ lo que implica $n^{1/n}\le1+\sqrt{\frac2n}$