Uso del determinante para verificar la independencia lineal, la extensión y la base

Question

¿Puede utilizarse el determinante (suponiendo que sea distinto de cero) para determinar que los vectores dados son linealmente independientes, abarcan el subespacio y son una base de ese subespacio? (En otras palabras, suponiendo que tengo un conjunto que puedo convertir en una matriz cuadrada, ¿puedo utilizar el determinante para determinar estas tres propiedades?)

He aquí dos ejemplos:

• Span ¿El siguiente conjunto de vectores abarca $\mathbb R^4$ : $[1,1,0,0],[1,2,-1,1],[0,0,1,1],[2,1,2,-1]$ ? Ahora el determinante aquí es $1$ por lo que el conjunto de vectores abarca $\mathbb R^4$ .
• Independencia lineal Dada la siguiente matriz aumentada:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right], $$ donde de nuevo el determinante es distinto de cero ( $-2$ ) por lo que este conjunto S es linealmente independiente.

Por supuesto que estoy en problemas si no se puede hacer una matriz cuadrada - me imagino que para los tramos se puede simplemente rref, y supongo que también para la independencia lineal y la base?

Answer 1

La mayoría de los libros de introducción al álgebra lineal tienen un teorema que dice algo así como

Dejemos que $A$ sea un cuadrado $n \times n$ matriz. Entonces lo siguiente es equivalente:

• $A$ es invertible.
• $\det(A) \neq 0$ .
• Las columnas de $A$ son linealmente independientes.
• Las columnas de $A$ span $R^n$ .
• Las columnas de $A$ son una base en $R^n$ .
• Las filas de $A$ son linealmente independientes.
• Las filas de $A$ span $R^n$ .
• Las filas de $A$ son una base en $R^n$ .

• La forma escalonada reducida de $A$ tiene un 1 inicial en cada fila.

  y muchas otras condiciones.....

Qué significa esto, simplemente significa que si quieres comprobar si alguna de estas condiciones es verdadera o falsa, puedes simplemente elegir cualquier otra condición de la lista y comprobarla en su lugar..

Su pregunta es: ¿Puede en lugar de la tercera o cuarta condición, comprobar la segunda? Eso es exactamente lo que dice el Teorema: SÍ.