Generalización de la solución de una EDO

Question

¿Hay alguna manera de resolver la siguiente EDO para valores integrales generales de $m$

\begin{align} \frac{\partial A(x)}{ \partial x} = -A(x)^m + \frac1x \label{rec}\tag{1} \end{align}

Tengo algunas formas de abordar este problema para un caso especial de $m=2$ . Para este caso, si sustituimos $A(x) = \frac{u^\prime(x)}{u(x)}$ obtendríamos una ecuación diferencial de la forma $$u^{\prime\prime}(x) = \frac{u(x)}x$$ Y, es posible escribir una solución para esta ecuación en términos de funciones de Bessel. Pero no sé cómo generalizar esto para las funciones más altas $m$ .

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Este es un Ecuación diferencial de Chini pero el invariante Chini depende de $x$ . No creo que que se conozca una solución de forma cerrada en general. Maple sí encuentra la solución general para $n=2$ :

$$ A \left( x \right) =-{\frac {-c {{ I}_{0}\left(2\,\sqrt {x}\right)}+{{ K}_{0}\left(2\,\sqrt {x}\right)}}{\sqrt {x} \left( { \it c}\,{{ I}_{1}\left(2\,\sqrt {x}\right)}+{{ K}_{1}\left(2 \,\sqrt {x}\right)} \right) }} $$

pero no para $m=3$ .

Answer 2

Una pista:

$\dfrac{dA}{dx}=-A^m+\dfrac{1}{x}$

$-\dfrac{dA}{dx}=\dfrac{A^mx-1}{x}$

$(x-A^{-m})\dfrac{dx}{dA}=-A^{-m}x$

Esto pertenece a una ecuación de Abel del segundo tipo.

Dejemos que $u=x-A^{-m}$ ,

Entonces $x=u+A^{-m}$

$\dfrac{dx}{dA}=\dfrac{du}{dA}-mA^{-m-1}$

$\therefore u\left(\dfrac{du}{dA}-mA^{-m-1}\right)=-A^{-m}(u+A^{-m})$

$u\dfrac{du}{dA}-mA^{-m-1}u=-A^{-m}u-A^{-2m}$

$u\dfrac{du}{dA}=(mA^{-m-1}-A^{-m})u-A^{-2m}$