Prueba que involucra el radio espectral y la forma canónica de Jordania.

Question

Sea $A$ una matriz cuadrada. Demuestre que si $$\lim_{n \to \infty} A^{n} = 0$$ then $ \ rho (A) <1$, where $ \ rho (A)$ denotes the spectral radius of $ A $ .

Pista: Usa la forma canónica de Jordan.

Estoy estudiando por mi cuenta y he estado trabajando en algunos ejercicios de álgebra lineal. Estoy luchando un poco para aplicar la sugerencia a este problema, no sé por dónde empezar. Cualquier ayuda apreciada.

Answer 1

Usted realmente no necesita la forma canónica de Jordan. Si $\rho(A) \ge 1$, $A$ tiene un autovalor $\lambda$ con $|\lambda| \ge 1$. Que autovalor tiene un autovector $v$. A continuación, $A^n v = \lambda^n v$, lo $\|A^n v\| = |\lambda|^n \|v\| \ge \|v\|$ no va a la $0$ como $n \to \infty$, lo cual es imposible si $A^n \to 0$.

Answer 2

Sugerencia

$$A=PJP^{-1} \\ J=\begin{bmatrix} \lambda_1 & * & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0& \lambda_2 & * & 0 & 0 & ... & 0 \\ ...&...&...&...&....&....&....\\ 0 & 0 & 0 & 0&0&...&\lambda_n \\ \end{bmatrix}$$ donde cada una de las $*$ es $0$ o $1$.

Demostrar por inducción que $$J^m=\begin{bmatrix} \lambda_1^m & \star & \star & \star & \star & ... & \star \\ 0& \lambda_2^m & \star & \star & \star & ... & \star \\ ...&...&...&...&....&....&....\\ 0 & 0 & 0 & 0&0&...&\lambda_n^m \\ \end{bmatrix}$$ donde la $\star$s representan los números, que es $J^m$ es una triangular superior de la matriz con la $m$^th poderes de los valores en la diagonal.

Nota por encima de La reclamación por $J^m$ no está en pleno uso de ese $J$ es un Jordania cannonical forma. Sólo utiliza ese $J$ es triangular superior.