¿Es correcta esta prueba de$H\le G, [G:H] =2 \implies a^2\in H \forall a\in G$?

Question

Si $H$ es un subgrupo de un grupo de $G$ y el índice (número de la derecha cosets) de $H$ es $2$, a continuación, $a^2 \in H$ para todos los $a\in G$.

Mi intento: si $a\in H$ entonces $a^2\in H$ directamente. Si $a\notin H$ e $a^2\notin H$ entonces $a(a^{-1})^{-1} = a^2 \notin H$ entonces $G = Ha \cup Ha^{-1}$ (la unión discontinuo). Pero $e\notin Ha$ porque $e=a^{-1}a$ e $a^{-1}\notin H$. También se $e\notin Ha^{-1}$ porque $e = aa^{-1}$ e $a\notin H$. A continuación, tenemos una contradicción. Por lo $a^2$ debe ser en $H$ en ambos casos.

Creo que está bien, pero no me siento que los argumentos con la identidad de $e$ son de derecha y no veo cómo justifican de manera más rigurosa.

Gracias de antemano

Answer 1

La prueba se ve bien, un poco complicado. Aquí hay otra manera. Si $a\in H$ a continuación, hemos terminado. Si $a\notin H$ entonces $Ha\ne H$. Ya que hay sólo $2$ derecho cosets llegamos a la conclusión de que $H$ e $Ha$ son todos los cosets, y $a^2$ debe estar en uno de ellos. Pero si asumimos que $a^2\in Ha$ , a continuación, hay un elemento $h\in H$ tal que $a^2=ha$. Multiplicamos por $a^{-1}$ desde el lado derecho y obtenga $a=h\in H$ lo cual es una contradicción. Por lo $a^2\in H$.