$\mathbb{R}$ es incontable, la prueba de Abbott

Question

Hay una prueba en el libro de Abbott (Understanding Analysis) en la página 25, que no consigo entender.

El teorema es que $\mathbb{R}$ es incontable. Y así es como el autor procede a demostrarlo (sé que hay una prueba más fácil de Cantor):

Para demostrar que un conjunto es incontable, tenemos que demostrar que no existe ninguna función 1-1,onto de la forma: $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ . El autor utiliza la prueba por contradicción, por lo que supone que existe una función onto 1-1. Esto implica que no hay dos valores "de entrada" de $\mathbb{N}$ nos asignará el mismo valor en $\mathbb{R}$ (1-1) y también que cada mapas de elementos en un valor único en $\mathbb{R}$ es decir $x_1=f(1)$ , $x_2=f(2)$ y así sucesivamente, por lo que podemos escribir:

$$\mathbb{R} = \{x_1,x_2,x_3, ... \}$$

Sería el conjunto de todos los reales. Ahora el autor procede a utilizar la propiedad de intervalo anidado (teorema 1.4.1 del libro) para producir un real que no está en la lista.

Sea $I_1$ sea un intervalo cerrado que no contenga $x_1$ y $I_2$ sea un intervalo cerrado contenido en $I_1$ y que no contenga $x_2$ . (1) Mi primer comprender el obstáculo : "Ciertamente $I_1$ contiene dos intervalos cerrados disjuntos más pequeños", No puedo ver qué dos intervalos disjuntos tiene en mente . Así que estoy empezando a luchar en este punto.

A continuación afirma que $x_{n_0}$ es un número real de la lista, entonces $x_{n_0} \notin I_{n_0}$ (es justo, esto se debe a la forma en que construimos los intervalos) y luego procede diciendo que:

$$x_{n_0} \notin \bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$$

No veo dónde está el $I_{n_0}$ está en lo anterior... Lo anterior tiene una intersección de los siguientes intervalos: $I_1,I_2,I_3,..$ y no hay $I_{n_0}$ .

(2) Por último por construcción existe un real que no está en el intervalo, $x_n \notin I_n$ no está ahí en absoluto. Así que por definición, estamos omitiendo un número real del intervalo, a pesar de que estamos destinados a demostrarlo (me doy cuenta de que se trata de un intervalo en el primer lugar; Mi pensamiento era que si lo demostramos en el intervalo entonces podemos extender las conclusiones de ese intervalo a la totalidad de la recta real; Pero si estamos omitiendo un real de la recta numérica, entonces ¿cómo podemos hacer ninguna conclusión en absoluto).

Answer 1

Lo intentaré.

Para su primer obstáculo, suponga que $x_1=2$ y elija $I_1$ ser $[0,1]$ . Observe cualquier par de subintervalos cerrados disjuntos - digamos $[0,1/3]$ y $[2/3,1]$ . Puesto que son disjuntos, $x_2$ no puede estar en las dos (puede que no esté en ninguna), así que dejemos que $I_2$ ser uno en el que no está.

Para el segundo obstáculo, olvídate de $I_{n_0}$ . Lo que dice la prueba es que la intersección de todos los intervalos que has elegido no puede contener ninguno de los números de la lista: puesto que $x_n$ no está en $I_n$ no está en la intersección. Usted parece entender eso.

Pero esa intersección contiene algo, así que hay un número que no está en la lista.

Answer 2

A su primera pregunta, $I_1$ contiene muchos posibles opciones para $I_2$ . Diablos, podría ser que $x_2$ ni siquiera está en $I_1$ para empezar. Pero no tenemos que describir explícitamente qué intervalo se elige, sólo que podemos hacer tal elección.

Sin embargo, si se desea una elección explícita, se pueden enumerar los intervalos cerrados con extremos racionales, de los que sólo hay un número contable, y tomar el intervalo menos adecuado de la enumeración.

En cuanto a su segunda pregunta, $n_0$ es un número natural. Si intersecamos todos los intervalos, que están indexados por todos los números naturales, también incluimos $I_{n_0}$ .

Answer 3

No es importante que todos los miembros de $\Bbb N$ a un único real. Alguien nos ha dado una función que se afirma que es sobre los reales, es decir, que todo real es imagen de al menos un natural. Estamos demostrando que se equivocan al encontrar un real que no cubren. Si cubren algunos reales más de una vez, eso no es un problema.

Para su primera pregunta, como ejemplo, tal vez $x_i=\pi$ . Ahora queremos encontrar un intervalo cerrado que no incluya $\pi$ llamar $I_1$ . Puede ser $[4,300]$ por ejemplo. Ahora se nos pide que encontremos dos intervalos cerrados incluidos en él. Podríamos tomar $[4,100]$ y $[101,300]$ . Los intervalos concretos no importan siempre que sean disjuntos. Entonces al menos uno de ellos (tal vez ambos) no incluye $x_2$ para que uno se convierta en nuestro $I_2$ . Si $x_2=1$ no está en ninguna de las dos y podemos tomar cualquiera de ellas como $I_2$ . Si $x_2=10$ nos vemos obligados a tomar la segunda. La cuestión es que podemos encontrar uno. Luego seguimos paso a paso.

La afirmación sobre $x_{n_0}$ realmente dice que ningún real de la lista está en $\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$ . $x_1$ no lo es porque no está en $I_1$ . $x_{100}$ no es porque no está en $x_{100}$ etc.

En definitiva, no estamos omitiendo un real de un intervalo, estamos encontrando intervalos que no cubren cada uno un real dado. Entonces decimos que la intersección contiene un real, pero sabemos que no está en la lista.