Encontrar series de Laurent: ¿es posible sin la integral de contorno?

Question

Tengo que encontrar la expansión de la serie Laurent para $$ f(z)= \frac {z^2 +1} {2z-1} $$

en torno a $ 1 \over 2$ . Sé que puedo escribir $f(z)= \sum_{-\infty}^{+\infty} a_n(z- \frac{1}{2})^n $ donde $a_n = \frac{1}{2i} \oint_ \frac{f(z)dz}{(z-\frac{1}{2})^{n+1}} $ ( es un camino cerrado alrededor de 1/2).

¿Puedo encontrar la expansión de la serie de una manera más "cruda", utilizando la serie geométrica? ¿Puedo dividir la fracción de tal manera que forme algo como $1\over z-1$ ¿o tengo que utilizar la integral de contorno?

Además, en funciones racionales como f, ¿existe siempre una forma de construir la expansión utilizando la serie geométrica?

Answer 1

Una idea:

$$\frac{z^2+1}{2z-1}=\frac{\left(z-\frac12+\frac12\right)^2+1}{2\left(z-\frac12\right)}=\frac18\cdot\frac{\left(1+2\left(z-\frac12\right)\right)^2+4}{z-\frac12}=$$$$ {}$$

$$=\frac1{8(z-\frac12)}\cdot\left(5+4\left(z-\frac12\right)+4\left(z-\frac12\right)^2\right)=\frac5{8\left(z-\frac12\right)}+\frac12+\frac12\left(z-\frac12\right)$$

Answer 2

Aquí tenemos la bonita situación de que el denominador ya tiene (además de un factor multiplicativo) la forma $$z-\frac{1}{2}$$ y el planteamiento de @DonAntonio es el más adecuado.

Respecto al caso general que planteas siempre podemos tomar una serie geométrica.

• Obtenemos una expansión en serie de potencias de $\frac{1}{z+a}$ en $z=z_0$ v \begin{align*} \frac{1}{z+a} &=\frac{1}{(z-z_0)-(a-z_0)}=-\frac{1}{a-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{a-z_0}}\\ &=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(a-z_0)^{n+1}}(z-z_0)^n \end{align*}

• La parte principal de $\frac{1}{z+a}$ en $z=z_0$ es \begin{align*} \frac{1}{z+a}&=\frac{1}{(z-z_0)-(a-z_0)}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{a-z_0}{z-z_0}}\\ &=\frac{1}{z-z_0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a-z_0)^n}{(z-z_0)^n}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a-z_0)^{n-1}}{(z-z_0)^n}\ \end{align*}