El máximo valor del área del rectángulo

Question

Trató de intentar mediante el uso de la altitud y la semejanza de triángulos, pero el problema es que las variables no están recibiendo elliminated.

Answer 1

Por Cavalieri del principio podemos hacer que el exterior del triángulo isósceles sin cambiar los rectángulos de área. Por hiperbólico transformaciones que podemos hacer de este triángulo tiene base 6 y la altura 4, una vez más mantener las áreas del rectángulo intacta.

Deje $p=P_1S_1$ e $q=P_2S_2$. El área de un triángulo fuera de los rectángulos, que queremos minimizar, es $$p\cdot\frac34p+q\cdot\frac34q+(4-p-q)\cdot\frac34(4-p-q)$$ (La $\frac34$ factores están allí porque podemos reorganizar el espacio desocupado en tres 4:3 rectángulos cuyos lados más largos de la se $p,q,4-p-q$.) $$=\frac34\left(p^2+q^2+(4-(p+q))^2\right)$$ $$=\frac32(p^2+pq+q^2-4p-4q)+12$$ El gradiente de la expresión entre paréntesis es $(2p+q-4,2q+p-4)$ y esto es igual a cero cuando se $p=q=\frac43$. Por lo tanto estos son el rectángulo alturas de la maximización de la zona ocupada, que es $$\frac32\left(8\cdot\frac43-3\cdot\frac43\cdot\frac43\right)=8$$

Answer 2

Vamos a llamar a $x$ a la altura de la $A$ a $S_2R_2$, $y=|S_2P_2|$, e $z=|S_1P_1|$. El área de los rectángulos es entonces $$A_r=z|S_1R_1|+y|S_2R_2|$$ We can write these segments in terms of $|AC|$ mirando a semejanza de triángulos: $$|S_2R_2|=|BC|\frac{x}{x+y+z}\\|S_1R_1|=|BC|\frac{x+y}{x+y+z}$$ Por lo tanto: $$A_r=|BC|\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}$$ Desde $|BC|$ e $x+y+z$ son constantes para un triángulo dado, lo que queremos es maximizar $xy+yz+zx$ con la restricción de que $x+y+z=k$, donde $k$ es una constante. El uso de Lagrange multiplier método: $$\partial_x (xy+yz+zx-\lambda(x+y+z-k))=0\\\partial_y (xy+yz+zx-\lambda(x+y+z-k))=0\\\partial_z (xy+yz+zx-\lambda(x+y+z-k))=0$$ usted obtener: $$y+z-\lambda=0\\x+z-\lambda=0\\x+y-\lambda=0$$ El uso de $x+y+z=k$, cuando la adición de estas ecuaciones se obtiene$$2k-3\lambda=0$$ o $\lambda=\frac{2}{3}k$. La solución es $$x=y=z=\frac{k}{3}$$ A continuación, $$\max(A_r)=\frac{3(k/3)^2}{k}|BC|=\frac{k|BC|}{3}$$ Observe que $k|BC|$ es el doble del área del triángulo, por lo $$\max(A_r)=8$$

Answer 3

Los dos apiled rectángulos de salir de un área asociada a tres triángulos semejantes. Los rectángulos tienen el máximo de área cuando los tres triángulos semejantes son iguales

o ressuming

$$ \frac 12 b\cdot h = 12 \Rightarrow b\cdot h = 24\\ 3\frac 12 \left(\frac b3\cdot\frac h3\right) = 4 $$

por lo que el área máxima es $12-4 = 8$

NOTA

El problema es el mismo dependiendo del número de apiled plazas. En el caso de $n$ tenemos el máximo cuadrados de área está dada por $12 - n\left(\frac{1}{2}\frac{b}{n}\frac{h}{n}\right) = 12-\frac{12}{n}$ para $n = 1, 2,\cdots$

Para mostrar la necesidad de la igualdad entre el pequeño exceso de triángulos pensar en el problema representado en el dibujo.

Answer 4

Caída perpendicular de $A$ a la base, y considerar el "justo medio" $S$ del triángulo, en el cual asumimos $A=(0,1)$, $C=(1,0)$, $Q_1=(x,0)$, $\>0\leq x\leq1$. Si se tratase de un rectángulo tenemos que maximizar $x(1-x)$, llevando a $x={1\over2}$. Para dos rectángulos por lo tanto, debemos maximizar $$f(x):=x(1-x)+\left({x\over2}\right)^2=x-{3\over4}x^2\ .$$ El máximo es de a $x={2\over3}$ con $f\left({2\over3}\right)={1\over3}$. De ello se sigue que $${{\rm area}_\max(R_1\cup R_2)\over{\rm area}(S)}={f\bigl({2\over3}\bigr)\over{1\over2}}={{1\over3}\over{1\over2}}={2\over3}\ ,$$ así que la respuesta a la pregunta es ${2\over3}\cdot12=8$.