El valor de P para un z-score de 4.9? O estoy haciendo mal?

Question

Mi pregunta es la siguiente:

Una feria de morir se rodó $120$ veces. Encontrar la probabilidad de que $5$ está en el parte superior:

una. entre $30$ e $40$ tiempos,

b. entre $18$ e $50$ tiempos,

c. más de $70$ veces.

Sugerencia: Usar la aproximación de la distribución Binomial a la distribución normal.

Yo estoy cerca de la solución. Sin embargo, estoy atascado, ya que se obtuvo una desviación estándar valor de $4.0825$ y, por tanto, una de las $z$-resultados como $4.9$. Mi solución es la siguiente:

$x$ = evento de tener un $5$ que se muestra en la parte superior

$P(x) = 1/6$

Este es un experimento de probabilidad binomial

$np(1-p) \ge 10$?

$120 * \frac{1}{6} ( 1 - \frac{1}{6}) = \frac{50}{3} > 10$

la media de $= np = 120$;

desviación estándar $= \sqrt{\frac{50}{3}} = 4.0825.$

$X~N(\mu=20, \sigma=4.0825)$

a) $P(30\le x\le 40) =$ ?

$z = \frac{x - \mu} {\sigma} $

$P\left(\frac{30 - 20}{4.0825} \le z \le \frac{40 - 20}{4.0825} \right)= P (2.45\le z\le4.9)$

En este punto, estoy estancado, ya que el $p$-valor de una $Z$-calificación de $4.9$ es imposible de encontrar (una calculadora en línea me dio un valor de $0.9999995$). Es mi solución equivocada o debo proceder con la $p$-valor?

Gracias a todos.

: )

Answer 1

Yo quería escribir esto en un comentario, pero consiguió llevar y salió corriendo de caracteres:

Su trabajo todo se ve bastante bien a mí (aunque te ha faltado el final de la línea donde usted trabaja fuera de la media, pero, a continuación, hacer uso correcto del valor ($20$) en su funcionamiento). También creo que es importante que normalmente escribimos la distribución Normal como $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, no $X\sim N(\mu, \sigma)$. De nuevo, se ha utilizado los valores correctos en su trabajo aunque.

Supongo que la baja probabilidad es lo que se esta haciendo difícil. Normalmente a la aproximación de la Binomial a la Normal desee $p \approx \frac 12$. Mientras que aquí, obviamente, tenemos una mucho menor $p$.

Creo en tus zapatos me gustaría tener el valor de ser $\approx 1$, y escribir una pequeña nota junto a mi respuesta explicando por qué he hecho esto. Si esta es una tarea pregunta, entonces estoy seguro de que su maestro no estaría más que feliz de explicar lo que pensaba acerca de este.

Answer 2

Como una comprobación de su trabajo, la exacta probabilidades están dadas de la siguiente manera:

> sum(dbinom(30:40,120,1/6))
[1] 0.01287915
> sum(dbinom(18:50,120,1/6))
[1] 0.7240251
> sum(dbinom(71:120,120,1/6))
[1] 1.112216e-25

Te darás cuenta de que estas probabilidades son ligeramente mayor que el que se obtuvo, ya que usted no está utilizando una continuidad de la corrección. Para ser más precisos, se puede tomar

$$P(30\leq X\leq 40)\approx \Phi\left(\frac{40.5-20}{4.0825}\right)-\Phi\left(\frac{29.5-20}{4.0825}\right)=0.00998$$

> pnorm(20.5/4.0825)-pnorm(9.5/4.0825)
[1] 0.00998223

y lo mismo para los otros problemas.