Qué $\sqrt{x}$ tienen un límite para la $x \to 0$?

Question

Estoy tomando un curso de cálculo, y en uno de los ejercicios en el libro, se me pide que encontrar los límites de ambos lados de $\sqrt{x}$ donde $x \to 0$.

El gráfico de la función sqrt(x) de WolframAlpha:

Esta es la forma en que resolvió el ejercicio:

Para la simplicidad, optar por ignorar el resultado negativo de $\pm\sqrt{x}$. Ya que estamos mirando límites para $x \to 0$, tanto los resultados convergen en el mismo punto, y de esta manera tendrá el mismo límites.

$\sqrt{x}$ = $0$ para $x = 0$.

$\sqrt{x}$ es un número real positivo para todos los $x > 0$.
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = \sqrt{+0} = 0$

$\sqrt{x}$ es un número complejo para todos los $x < 0$.
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \sqrt{x} = \sqrt{-0} = 0 \times \sqrt{-1} = 0i = 0$

La solución en el libro, sin embargo, no está de acuerdo que existe un límite para $x \to 0-$.

Supongo que hay tres preguntas en este post, aunque algunos de ellos probablemente se superpone:

• Qué $\sqrt{x}$ tienen un límite para la $x \to 0$?
• Son las funciones de raíz cuadrada se define a tener un rango de sólo números reales, a menos que se especifique de otra manera?
• Es $\sqrt{x}$ continuo para $-\infty < x < \infty$?

WolframAlpha dice que el límite para x=0 es 0: límite (x 0) sqrt(x)

Y también que tanto el positivo y negativo de los límites 0: límite (x 0) sqrt(x)

Si mi lógica es errónea, por favor me corrija.

Answer 1

Se trata sin duda de una mano derecha de límite. Ha $\sqrt{x}\to 0$$x\downarrow 0$. De hecho, desde el $\sqrt{0} = 0$, usted sabe que la función raíz cuadrada es la derecha continua en cero.

Sin embargo, no hay ninguna posibilidad de limitar como $x\to 0-$, ya que el dominio de esta función es $[0,\infty)$. Para discutir el lado izquierdo del límite de una función en un punto de $a$, la función debe estar definida en algún intervalo $(q, a)$ donde $q < a$.

La raíz cuadrada de la función es continua en su dominio. Dado que no está definido en $(-\infty, 0)$, es a menudo de manera informal, dijo que tiene un "límite a cero".

Answer 2

Las respuestas a sus preguntas dependen de si se está trabajando con $\mathbb{R_{\geq 0}}$ o $\mathbb{R}$ como su dominio. $\sqrt{x}$ no es realmente la misma función que, en estos dos casos.

Con un dominio de $\mathbb{R_{\geq 0}}$:

• Claramente $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. Sin embargo $\lim_{x \to 0^-} \sqrt{x}$ no está definido para números negativos en este caso, por lo $\lim_{x \to 0^-} \sqrt{x}$ es indefinido.
• Si el curso es en el análisis real, lo más probable es que asume que el dominio es $\mathbb{R_{\geq 0}}$. Sin embargo, esto puede depender mucho del contexto. Si usted no está seguro de lo que su curso de la convención es, usted debe consultar a un asistente de enseñanza.
• En este caso, $\sqrt{x}$ no es continua en a $\mathbb{R}$, ya que no está aún definido en todas partes.

Con un dominio de $\mathbb{R}$:

• Como el gráfico muestra que, tanto la real y la imaginaria tienden a 0, y por lo $\sqrt{x}$ tiende a 0.
• Ver arriba.
• Una vez más, el gráfico muestra que tanto las partes real e imaginaria son funciones continuas sobre $\mathbb{R}$, y por lo $\sqrt{x}$ es continuo en el $\mathbb{R}$.

Tenga en cuenta que hay incluso un caso más general, donde el dominio es $\mathbb{C}$. Esto es donde las cosas se ponen muy extraño.